Doğrusal Çok Adımlı Yöntemler
Doğrusal çok adımlı yöntemler, her yeni çözüm değerini, önceki birkaç çözüm değeri ve türevlerinin doğrusal bir kombinasyonundan hesaplamaktadır; bu sayede geçmiş çalışmalar yeniden kullanılarak adım başına düşük maliyetle yüksek mertebe elde edilmektedir.
Tanım
Doğrusal çok adımlı bir yöntem, adi diferansiyel denklemler için, bir dizi önceki çözüm değeri ve sağ taraf değerlendirmeleri arasında sabit bir doğrusal ilişki aracılığıyla bir sonraki çözüm değerini belirleyen bir yöntemdir.
Kapsam
Bu konu, Adams-Bashforth (açık) ve Adams-Moulton (kapalı) ailelerini, katı (stiff) problemler için geri fark formüllerini (backward differentiation formulas), tahminci-düzeltici (predictor-corrector) uygulamasını, sıfır-kararlılığı (zero-stability) tanımlayan karakteristik polinomları ve kök koşulunu, ayrıca bu tür yöntemlerin ulaşabileceği sınırları belirleyen Dahlquist'in mertebe engellerini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Çok adımlı yöntemler, adım başına tek bir yeni fonksiyon değerlendirmesiyle yüksek mertebeye ulaşmak için geçmiş değerleri nasıl yeniden kullanmaktadır?
- Sıfır-kararlılık nedir ve karakteristik polinom üzerindeki kök koşulu bunu nasıl ifade etmektedir?
- Tahminci-düzeltici çiftleri, açık ve kapalı formülleri pratikte nasıl birleştirmektedir?
- Dahlquist'in mertebe engelleri, çok adımlı yöntemlerin doğruluğu ve kararlılığının sınırları hakkında ne söylemektedir?
Temel kuramlar
- Sıfır-kararlılık ve kök koşulu
- Bir çok adımlı yöntem, tutarlı olduğunda yakınsak ve sıfır-kararlıdır; bu durum, ilk karakteristik polinomunun köklerinin kapalı birim disk içinde ve sadece sınırda basit köklerle yer almasıyla sağlanır; bu kök koşulu, kararlılığın çok adımlı analoğudur.
- Dahlquist engelleri
- Dahlquist'in ilk engeli, sıfır-kararlı k-adımlı bir yöntemin mertebesini sınırlamakta, ikinci engeli ise hiçbir A-kararlı doğrusal çok adımlı yöntemin mertebesinin ikiden büyük olamayacağını göstermektedir. Bu nedenle, yüksek mertebeli katı çözücüler, mutlak kararlılıktan ziyade göreceli kararlılığın BDF uzlaşmasına dayanmaktadır.
Mekanizmalar
Adams yöntemleri, geçmiş türev değerleri üzerinden bir interpolasyon polinomunu entegre etmektedir: Adams-Bashforth yalnızca bilinen değerleri kullanırken (açık), Adams-Moulton daha fazla doğruluk ve kararlılık için bilinmeyen yeni değeri de içermektedir (kapalı). Pratikte bu iki yöntem tahminci-düzeltici olarak eşleştirilmektedir: açık formül tahmin ederken, kapalı olan tipik olarak bir veya iki iterasyonda düzeltme yapmaktadır. Geri fark formülleri ise, yeni noktadaki türevi yaklaştırmak için geçmiş çözüm değerlerini fark almaktadır; bu da katı ADY (ODE) kodlarının temelini oluşturan katı-kararlı (stiff-stable) yöntemleri sağlamaktadır. Çok adımlı yöntemler birkaç başlangıç değerine ihtiyaç duyduğundan, tek adımlı bir yöntemle başlatılmaktadır (bootstrapped).
Klinik önem
Doğrusal çok adımlı yöntemler, özellikle geri fark formülleri, kimyasal kinetik, elektronik devre simülasyonu ve büyük diferansiyel-cebirsel sistemlerde kullanılan üretim amaçlı katı-ADY çözücülerini güçlendirmektedir. Bu alanlarda sağ tarafı değerlendirmek maliyetli olduğundan, çok adımlı formüller aracılığıyla geçmiş değerlendirmelerin yeniden kullanılması önemli verimlilik artışları sağlamaktadır.
Tarihçe
Adams ve Bashforth, çok adımlı formülleri on dokuzuncu yüzyılda tanıtmış, Moulton ise kapalı varyantları eklemiştir; Dahlquist'in 1950'ler-60'lardaki analizi, alanı yöneten kararlılık kuramını ve mertebe engellerini ortaya koymuş, C. William Gear'ın 1970'lerdeki çalışmaları ise geri fark formülü kodlarını katı problemler için standart haline getirmiştir.
Öne çıkan isimler
- John Couch Adams
- Francis Bashforth
- Forest Ray Moulton
- Germund Dahlquist
- C. William Gear
İlgili konular
Temel eserler
- hairer1993
- iserles2008
Sıkça sorulan sorular
- Çok adımlı yöntemler Runge-Kutta yöntemlerinden nasıl farklılık göstermektedir?
- Runge-Kutta yöntemleri her adımda birkaç yeni türev değerlendirmesi yapmakta ancak bunları daha sonra atmaktadır; çok adımlı yöntemler ise önceki adımlardan türev değerlerini yeniden kullanmaktadır. Bu nedenle çok adımlı yöntemler adım başına daha ucuzdur ancak ek başlangıç değerlerine ve adım boyutu değişikliklerinin özel olarak ele alınmasına ihtiyaç duymaktadır.
- Kök koşulu nedir?
- Bu, yöntemin ilk karakteristik polinomunun köklerinin birim çemberin içinde veya üzerinde yer alması, sınır köklerinin ise basit olması gerekliliğidir. Bu koşul, adımlar biriktikçe küçük hataların büyütülmemesini garanti ederek yöntemin sıfır-kararlı ve dolayısıyla yakınsak olmasını sağlamaktadır.