Sayısal İntegrasyon
Sayısal integrasyon veya kuadratür, belirli integralleri fonksiyon değerlerinin ağırlıklı toplamları aracılığıyla yaklaştırır; bu yöntem, bir ters türev bulunamadığında veya integral alınan fonksiyon (integrand) yalnızca örnek noktalarda bilindiğinde doğru değerler sağlamaktadır.
Tanım
Sayısal integrasyon, belirli bir integralin, integral alınan fonksiyonun (integrand) sonlu ağırlıklı değer kombinasyonu (kuadratür kuralı olarak adlandırılır) ile yaklaştırılması ve bu yaklaşımın doğruluğunun analizidir.
Kapsam
Bu alan, polinom enterpolantlarını (Newton-Cotes) entegre ederek oluşturulan enterpolasyonlu kuadratür kurallarını, ortogonal polinomlara dayalı optimal dereceli Gauss kurallarını, hatayı otomatik olarak kontrol eden bileşik ve adaptif şemaları ve doğruluk ile yakınsamayı yöneten hata analizini kapsamaktadır; çok boyutlu integrasyon, bu tek boyutlu temellerin bir uzantısı olarak ele alınmaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- Kuadratür kuralları polinom enterpolasyonundan nasıl oluşturulur ve doğruluklarını ne belirler?
- Bir kuralın kesinlik derecesi nedir ve Gauss kuralları belirli bir nokta sayısı için bunu nasıl maksimize eder?
- Bileşik ve adaptif stratejiler bir aralık boyunca hatayı nasıl kontrol eder?
- İntegral alınan fonksiyonun (integrand) düzgünlüğü, bir kuadratür kuralının yakınsama oranını nasıl yönetir?
Temel kuramlar
- Enterpolasyonlu kuadratür
- Seçilen düğüm noktalarında integral alınan fonksiyonu (integrand) enterpole eden polinomun entegre edilmesi, ağırlıkları Lagrange baz fonksiyonlarının integralleri olan bir kuadratür kuralı verir; bu kural, enterpolasyon derecesine kadar olan tüm polinomlar için kesindir.
- Gauss kuadratürü ve ortogonal polinomlar
- Düğüm noktalarını ortogonal polinomların kökleri olarak seçmek, 2n-1 derecesine kadar olan polinomlar için kesin olan n-noktalı bir kural üretir ki bu mümkün olan en yüksek derecedir ve optimal kuadratürü ortogonal polinomlar kuramına bağlar.
- Adaptif hata kontrolü
- Farklı derecelerdeki kurallardan veya rafine alt bölümlerden elde edilen tahminleri karşılaştırmak, otomatik alt bölümlemeyi yönlendiren bir hata tahmini sağlar ve integral alınan fonksiyonun (integrand) hızla değiştiği yerlerde çabayı yoğunlaştırır.
Klinik önem
Kuadratür, integrallerin kapalı formda değerlendirilemediği her yerde gereklidir: olasılık ve istatistikte beklenen değerlerin ve normalleştirme sabitlerinin hesaplanmasında, sonlu elemanlar yöntemlerinde eleman integrallerinin değerlendirilmesinde, fizik simülasyonlarında radyasyon ve kuvvet katkılarının toplanmasında ve hesaplamalı finansta enstrümanların fiyatlandırılmasında kullanılmaktadır; kural seçimi, doğruluk ile (genellikle maliyetli olan) integral alınan fonksiyonun değerlendirme sayısı arasında bir denge kurmayı gerektirmektedir.
Tarihçe
Klasik enterpolasyonlu kurallar Newton ve Cotes'a kadar uzanırken, Gauss optimal dereceli kuadratürünü 1814'te tanıtmıştır; bilgisayar çağı, otomatik adaptif algoritmaları ve yüksek kaliteli yazılım kütüphanelerini eklemiş, ayrıca zorlu integral alınan fonksiyonlar için kuadratürün koşullandırılmasına ve kararlılığına yeniden dikkat çekmiştir.
Öne çıkan isimler
- Carl Friedrich Gauss
- Isaac Newton
- Roger Cotes
- Philip J. Davis
İlgili konular
Temel eserler
- davis1984
- quarteroni2007
Sıkça sorulan sorular
- Ters türev bulmak yerine sayısal integrasyona ne zaman ihtiyaç duyulur?
- Birçok integral alınan fonksiyonun (integrand) temel fonksiyonlarla ifade edilebilen bir ters türevi bulunmamaktadır ve pratikte integral alınan fonksiyon yalnızca veri olarak veya bir simülasyonun çıktısı olarak mevcut olabilmektedir. Her iki durumda da bir kuadratür kuralı, integrali doğrudan fonksiyon değerlerinden tahmin etmektedir.
- Gauss kuadratürü neden bu kadar verimlidir?
- Hem düğüm noktalarını hem de ağırlıkları en uygun şekilde yerleştirerek, n-noktalı bir Gauss kuralı, 2n-1 derecesine kadar olan polinomları tam olarak entegre eder — aynı sayıda noktaya sahip bir Newton-Cotes kuralının derecesinin iki katıdır — bu nedenle düzgün integral alınan fonksiyonlar için az sayıda fonksiyon değerlendirmesiyle yüksek doğruluk elde etmektedir.