Genelleştirilmiş Koordinatlar ve Kısıtlamalar
Genelleştirilmiş koordinatlar, bir sistemin konfigürasyonunu belirleyen, kısıtlamaları içerecek ve takip edilmesi gereken serbestlik derecesi sayısını azaltacak şekilde seçilen herhangi bağımsız değişkenlerdir.
Tanım
Genelleştirilmiş koordinatlar, bir mekanik sistemin kısıtlamalarına uygun olarak konfigürasyonunu benzersiz bir şekilde belirleyen, bağımsız parametrelerden oluşan minimal bir kümedir ve sistemin tanımını gerçek serbestlik derecesi sayısına indirgemektedir.
Kapsam
Bu konu, genelleştirilmiş koordinatların seçimi, konfigürasyon uzayı ve serbestlik dereceleri kavramı ile kısıtlamaların holonomik veya non-holonomik, skleronomik veya reonomik olarak sınıflandırılmasını kapsamaktadır. Holonomik kısıtlamaların uygun bir koordinat seçimiyle nasıl ortadan kaldırıldığını ve sanal iş ilkesi ile d'Alembert ilkesinin kısıtlama kuvvetlerini nasıl ele aldığını incelemektedir.
Temel sorular
- Genelleştirilmiş koordinatların seçimi bir problemdeki değişken sayısını nasıl azaltır?
- Holonomik kısıtlamaları non-holonomik kısıtlamalardan ayıran nedir?
- D'Alembert ilkesi ve sanal iş, bilinmeyen kısıtlama kuvvetlerini nasıl ortadan kaldırır?
Anahtar kavramlar
- Genelleştirilmiş koordinatlar
- Serbestlik dereceleri
- Konfigürasyon uzayı
- Holonomik ve non-holonomik kısıtlamalar
- Sanal yer değiştirme ve sanal iş
- Kısıtlama kuvvetleri
Temel kuramlar
- Holonomik kısıtlamalar ve serbestlik dereceleri
- Holonomik kısıtlamalar, koordinatlar ve zaman arasındaki denklemler olarak ifade edilebilir; her biri serbestlik derecesini bir azaltır ve uygun genelleştirilmiş koordinatlar seçilerek absorbe edilebilir.
- D'Alembert ilkesi ve sanal iş
- Kısıtlamalarla tutarlı yalnızca sanal yer değiştirmelere izin verilerek, sanal iş yapmayan kısıtlama kuvvetleri denklemden çıkar ve hareket denklemleri yalnızca uygulanan kuvvetler cinsinden kalır.
Klinik önem
Kısıtlamalara uygun genelleştirilmiş koordinatların seçimi, bağlantı mekanizmaları, robot kolları, dişli takımları ve eklemli mekanizmaların dinamiklerini yönetilebilir kılmaktadır; holonomik/non-holonomik ayrımı ise yuvarlanan ve tekerlekli sistemlerin kontrolü için belirleyici olmaktadır.
Tarihçe
D'Alembert'in 1743 ilkesi, eylemsizlik ve uygulanan kuvvetleri birleştirerek dinamiği bir statik problemine indirgemiştir; Lagrange ise bu ilke üzerine inşa ederek kısıtlama kuvvetlerini ortadan kaldıran genelleştirilmiş koordinatlar yöntemini geliştirmiştir. Kısıtlamaların sistematik sınıflandırılması, non-holonomik terimi de dahil olmak üzere, on dokuzuncu yüzyılın sonlarında Hertz ve diğerleri tarafından netleştirilmiştir.
Öne çıkan isimler
- Jean le Rond d'Alembert
- Joseph-Louis Lagrange
- Heinrich Hertz
İlgili konular
Temel eserler
- goldstein2002
- lanczos1970
Sıkça sorulan sorular
- Bir kısıtlamayı non-holonomik yapan nedir?
- Non-holonomik bir kısıtlama, yalnızca koordinatlar arasındaki cebirsel bir ilişki olarak yazılamaz; genellikle entegre edilemez bir şekilde hızları içerir, kaymadan yuvarlanan bir tekerlekte olduğu gibi, ve bir koordinat değişimiyle ortadan kaldırılamaz.
- Kısıtlama kuvvetlerini ortadan kaldırmak neden uygun olur?
- Kısıtlama kuvvetleri genellikle bilinmeyen ve önemsizdir, örneğin bir raydan gelen normal kuvvet gibi. Kısıtlamalarla tutarlı sanal yer değiştirmeler altında iş yapmadıkları için, Lagrange yöntemi onları hareket denklemlerinden otomatik olarak çıkarmaktadır.