Hamilton Denklemleri ve Faz Uzayı
Hamilton denklemleri, koordinatların ve eşlenik momentumların zaman içindeki evrimini Hamiltoniyenin türevleri cinsinden ifade eden ve hareketi faz uzayında bir akış olarak tanımlayan bir çift birinci dereceden denklemdir.
Tanım
Hamilton denklemleri, bir sistemin faz uzayındaki yörüngesini belirleyen, biri her bir koordinatın değişim oranını, diğeri ise her bir eşlenik momentumun değişim oranını Hamiltoniyenin kısmi türevleri olarak veren iki adet birinci dereceden diferansiyel denklemdir.
Kapsam
Bu konu, Lagrangian'dan Hamiltoniyeni tanımlayan Legendre dönüşümünü, her bir koordinat-momentum çifti için ortaya çıkan kanonik denklemleri, faz uzayının yapısını ve içindeki yörüngeleri ve Hamiltoniyen akış altında faz uzayı hacminin korunumu üzerine Liouville teoremini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Hamiltoniyen, Lagrangian'dan bir Legendre dönüşümü ile nasıl oluşturulur?
- Faz uzayındaki bir yörünge neyi temsil eder ve nasıl evrilir?
- Faz uzayı hacmi, Hamiltoniyen akış altında neden korunur?
Anahtar kavramlar
- Legendre dönüşümü
- Eşlenik momentum
- Faz uzayı ve faz yörüngesi
- Kanonik denklemler
- Liouville teoremi
- Enerji yüzeyi
Temel kuramlar
- Hamilton'ın kanonik denklemleri
- Hareket, her bir koordinatın değişim oranının Hamiltoniyenin momentum türevine eşit olduğu ve her bir momentumun değişim oranının koordinat türevinin eksilisine eşit olduğu birinci dereceden denklemlerle yönetilmektedir.
- Liouville teoremi
- Bir Hamiltoniyen tarafından üretilen akış, faz uzayındaki hacmi korur; bu nedenle, başlangıç koşullarının bir bölgesi, faz uzayı ölçüsünü değiştirmeden evrilir ve bu durum istatistiksel mekaniğin temel taşlarından birini oluşturur.
Klinik önem
Faz uzayı resmi ve Liouville teoremi, istatistiksel mekaniğin ve topluluk yöntemlerinin, faz uzayı alanının korunan bir emittans olduğu hızlandırıcı ışın dinamiğinin ve uzun vadeli yörünge ve moleküler simülasyonlarda kullanılan sayısal simplektik integratörlerin temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Hamilton, kanonik denklemleri 1834-1835 yıllarındaki dinamikte genel bir yöntem üzerine yazdığı makalelerinde tanıtmış, ikinci dereceden Lagrangian tanımını simetrik birinci dereceden bir tanıma dönüştürmüştür. Liouville'in 1838'deki hacim korunumu teoremi ve Gibbs'in daha sonra faz uzayını istatistiksel topluluklar için kullanması, faz uzayı bakış açısını fiziğin merkezi bir unsuru olarak yerleştirmiştir.
Öne çıkan isimler
- William Rowan Hamilton
- Joseph Liouville
- Josiah Willard Gibbs
İlgili konular
Temel eserler
- goldstein2002
- arnold1989
Sıkça sorulan sorular
- Faz uzayı nedir?
- Faz uzayı, koordinatları tüm genelleştirilmiş konumlar ve bunların eşlenik momentumları olan uzaydır; tek bir nokta, bir sistemin anlık durumunu tam olarak belirtir ve sistemin geçmişi bu uzayda bir eğri olarak temsil edilmektedir.
- Hamilton denklemleri birinci dereceden iken Lagrange denklemleri neden ikinci derecedendir?
- Momentumları koordinatlarla birlikte bağımsız değişkenler olarak ele alarak, Hamiltoniyen formülasyonu değişken sayısını iki katına çıkarmakta ancak her denklemi birinci dereceye indirgeyerek faz uzayının simetrik yapısını ortaya çıkarmaktadır.