Tekil Değer Ayrıştırması
Singular Value Decomposition (SVD) · Ayrıca şöyle bilinir: SVD, thin SVD, reduced SVD
Tekil Değer Ayrıştırması (SVD), herhangi bir m × n matrisini A = U Σ V^T şeklinde ayrıştıran temel bir matris çarpanlara ayırma tekniğidir; burada U ve V ortogonal matrisler ve Σ tekil değerlerden oluşan köşegen bir matristir. 1960'lar-1970'lerde Gene Golub ve diğerleri tarafından geliştirilen SVD, matris yapısını analiz etmek ve lineer sistemleri çözmek için en sağlam yöntemdir.
Tam yöntemi oku
Bu bölümü okumak için ücretsiz hesapla giriş yapın.
Yöntem haritası
İlişkili yöntemlerin komşuluğu — keşfetmek için bir düğüm seçin.
Ne zaman kullanılır
Bozuk veya rankı eksik sistemleri çözmek, matris rankını ve boş uzayı hesaplamak, görüntü sıkıştırma, gürültü filtreleme ve boyut indirgeme için SVD kullanılır. Matris koşullandırmasının kötü olduğu veya rankın bilinmediği durumlarda esastır. Büyük seyrek matrisler için iteratif yöntemler (Lanczos, LOBPCG) tercih edilir; tam SVD'nin maliyeti O(m n²) veya O(m² n)'dir.
Güçlü yönler & sınırlılıklar
- Sinyali gürültüden ayırır ve ayrıştırır; kesilmiş SVD, baskın bileşenleri korurken küçük tekil değerleri bastırır
- Matris rankını kesin olarak ortaya çıkarır (ihmal edilemez tekil değerlerin sayısı); eşik değeri aracılığıyla sayısal rankı belirler
- Ortogonal ayrıştırma, projeksiyonlar ve sözde ters hesaplaması için kararlı bir taban sağlar
- Dikdörtgen, tekil ve karmaşık matrislere uygulanabilir; pozitif-kesinlik varsayımı yoktur
- Tam SVD için hesaplama maliyeti O(m²n) veya O(mn²)'dir; seyrek yapıdan yararlanılmadıkça çok büyük matrisler için yasaklayıcıdır
- Tam SVD, O(mn) bellek depolar, bu da yüksek boyutlu verilerde kullanımını sınırlar; ince SVD veya taslak yöntemleri maliyeti azaltır
- Büyük seyrek matrisler için tam SVD seyrekliği bozar; iteratif kısmi SVD (Lanczos) gereklidir
- Tekil değerler tekrarlandığında tekil vektörler benzersiz değildir; kesilmiş SVD, ana alt uzayda belirsizlik yaratır
SSS
Neden SVD, Ax = b'yi çözmek için LU ayrıştırmasından daha kararlıdır?
LU, büyük çarpanlara sahip olabilir (büyüme faktörü > 1), kötü koşullandırılmış A için yuvarlama hatalarını artırır. SVD'nin ortogonal çarpanları (U, V) mükemmel 1 koşul sayısına sahiptir; kesilmiş SVD ile düzenlileştirme basittir. Bozukulmuş problemler için bu fark kritiktir.
Bir matrisin sayısal rankı nasıl belirlenir?
SVD hesaplanır ve eşik değerinin üzerindeki tekil değerler sayılır (örneğin, σ_i > ε ||σ_1||, burada ε ≈ 10^{-14} makine hassasiyeti çarpı m veya n). Alternatif olarak, veri bağımlı eşikleme için L-eğrisi kriteri veya genelleştirilmiş çapraz doğrulama kullanılır.
Tam SVD ile ince SVD arasındaki fark nedir?
Tam SVD, U (m × m) ve V (n × n) döndürür. İnce SVD, r = rank(A) ≤ min(m,n) olmak üzere U (m × r) ve V (n × r) döndürür. İnce SVD daha bellek açısından verimlidir ve çoğu uygulama için yeterlidir; yalnızca boş uzayın tam bir ortogonal tabanına ihtiyaç duyduğunuzda tam SVD kullanın.
Kare bir matrisin özdeğerleri için SVD kullanabilir miyim?
Evet: A kare ve simetrik ise, SVD tekil değerleri |λ_i| (mutlak özdeğerler) ve U = V'dir. Simetrik olmayan A için, doğrudan özdeğer ayrıştırması (QR yinelemesi, Krylov yöntemleri) kullanın - SVD aşırıya kaçar ve özvektörleri geri getirmez.
Kaynaklar
- Golub, G. H., & Kahan, W. (1970). Calculating the singular values and pseudo-inverse of a matrix. Journal of the SIAM Series B: Numerical Analysis, 2(2), 205–224. DOI: 10.1137/0702016 ↗
- Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (1983). Matrix computations (2nd ed.). Johns Hopkins University Press. ISBN: 0801854148
- Trefethen, L. N., & Bau, D. (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. DOI: 10.1137/1.9780898719574 ↗
Bu sayfayı kaynak gösterin
ScholarGate. (2026, June 3). Singular Value Decomposition (SVD). ScholarGate. https://scholargate.app/tr/numerical-methods/singular-value-decomposition