Basit Doğrusal Regresyon
Basit doğrusal regresyon, sürekli bir sonuç değişkeninin beklenen değerini tek bir açıklayıcı değişkenin doğrusal bir fonksiyonu olarak modeller. En küçük kareler yöntemiyle bir kesişim noktası (intercept) ve bir eğim (slope) tahmin eder; burada eğim, tahmin edici değişkendeki her bir birimlik artış için sonuç değişkeninin ortalama olarak ne kadar değiştiğini ifade etmektedir. Daha karmaşık modellerin üzerine inşa edildiği temel regresyon modelidir.
Tanım
Basit doğrusal regresyon, E(Y) = a + bX modelini uydurarak, artıkların kareleri toplamını (adi en küçük kareler) minimize etmek suretiyle kesişim noktası a ve eğim b'yi tahmin eder; böylece eğim, tek tahmin edici X'teki bir birimlik artış başına sürekli sonuç değişkeni Y'deki ortalama değişimi nicelendirmektedir.
Kapsam
Bu madde, tek bir tahmin ediciye sahip doğrusal modeli kapsamaktadır: kesişim noktası ve eğimin anlamı, en küçük kareler tahmini, doğrusallık, bağımsızlık, sabit varyans ve yaklaşık olarak normal dağılımlı artıklar (residuals) varsayımları ile uyumun güven aralıkları, tahmin ve belirleme katsayısı (coefficient of determination) aracılığıyla yorumlanması incelenmektedir. Bu, metodolojik bir konudur, klinik bir rehberlik değildir.
Temel sorular
- Verilere doğrusal bir çizgi nasıl uydurulur ve 'en küçük kareler' neyi minimize eder?
- Kesişim noktası ve eğim esasen ne anlama gelir?
- Tahminlerin ve güven aralıklarının geçerli olması için hangi varsayımların karşılanması gerekir?
- Basit doğrusal regresyon korelasyon katsayısıyla nasıl ilişkilidir?
- Uydurulan çizgi tahmin için mi yoksa öngörü için mi nasıl kullanılır?
Anahtar kavramlar
- Kesişim noktası ve eğim
- Adi en küçük kareler
- Artıklar
- Varsayımlar: doğrusallık, bağımsızlık, sabit varyans, normal hatalar
- Eğim için güven aralığı
- Belirleme katsayısı (R-kare)
- Güven aralıkları ve tahmin aralıkları
- Ortalamaya gerileme
Mekanizmalar
Model, sonuç değişkeninin ortalamasının tahmin edici değişkende doğrusal bir çizgi üzerinde yer aldığını ve bireysel gözlemlerin bu çizginin etrafına dağıldığını varsaymaktadır. Adi en küçük kareler, gözlemlenen ve uydurulan değerler arasındaki dikey mesafelerin (artıkların) kareleri toplamını minimize eden kesişim noktasını ve eğimi seçmektedir. Eğim tahmini, artıklar bağımsız olduğunda, yaklaşık olarak sabit varyansa sahip olduğunda ve yaklaşık olarak normal dağıldığında geçerli olan, bir güven aralığı ve hipotez testinin türetildiği bir standart hataya sahiptir. Belirleme katsayısı, R-kare, sonuç varyansının tahmin edici tarafından açıklanan oranını bildirmekte ve basit tahmin edici durumunda Pearson korelasyonunun karesine eşit olmaktadır. Bir güven aralığı, belirli bir tahmin edici değerdeki ortalama sonuç değişkenindeki belirsizliği tanımlarken, daha geniş olan bir tahmin aralığı ise, bireysel bir gelecekteki gözlemdeki belirsizliği tanımlamaktadır.
Klinik önem
Basit doğrusal regresyon, sağlık literatüründe bir sürekli ölçümün diğeriyle nasıl ilişkili olduğunu tanımlamak ve referans ilişkileri ile kalibrasyon çizgileri oluşturmak için yaygın olarak görülmektedir. Varsayımlarını tanımak, bu tür analizleri değerlendirmenin bir parçasıdır. Bu madde yöntemi tanımlamaktadır ve bireysel tanı veya tedavi kararları için bir temel değildir.
Kanıt ve kılavuzlar
Standart tıbbi istatistik metinleri ve BMJ Statistics Notes serisi, regresyon çizgilerinin, eğimlerin ve bunların güven aralıklarının nasıl raporlanması ve yorumlanması gerektiğini tanımlamakta ve uydurulan bir çizgiye güvenmeden önce artıkların kontrol edilmesinin önemini vurgulamaktadır.
Tarihçe
Doğrusal model, Francis Galton'ın on dokuzuncu yüzyılda kalıtsal özelliklerdeki 'ortalamaya gerileme' (regression toward the mean) gözlemine, yani regresyona adını veren olguya ve astronomi ile jeodezide daha önce geliştirilen en küçük kareler yöntemine dayanmaktadır. Pearson ve ardılları, eğim için çıkarımı resmileştirmiş ve model, modern biyoistatistiğin daha geniş regresyon aygıtı için bir başlangıç noktası haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Francis Galton
- Karl Pearson
- Douglas Altman
- Martin Bland
İlgili konular
Temel eserler
- altman-1991
- kutner-2005
Sıkça sorulan sorular
- Basit doğrusal regresyonda eğim ne anlama gelir?
- Eğim, tahmin edici değişkendeki her bir birimlik artış için sonuç değişkenindeki ortalama değişimdir. Güven aralığı ve p-değeri, ne kadar hassas tahmin edildiğini ve ilişkinin bir ilişki olmamasından ayırt edilip edilemeyeceğini göstermektedir.
- Bir regresyon çizgisi için güven aralığı ile tahmin aralığı arasındaki fark nedir?
- Bir güven aralığı, belirli bir tahmin edici değerdeki ortalama sonuç değişkeni hakkındaki belirsizliği ifade ederken, daha geniş olan bir tahmin aralığı ise, o değerdeki bireysel yeni bir gözlem hakkındaki belirsizliği ifade etmektedir, çünkü aynı zamanda çizgi etrafındaki noktaların dağılımını da içermektedir.