เมตริกเทนเซอร์และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เมตริกเทนเซอร์ระบุระยะทางและเวลาในปริภูมิ-เวลา และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของแมนิโฟลด์เป็นเครื่องมือ, อนุพันธ์โคแวเรียนต์, การเชื่อมต่อ, และเทนเซอร์ความโค้ง ที่จำเป็นสำหรับการทำฟิสิกส์บนพื้นหลังที่โค้งงอ

Definition

เมตริกเทนเซอร์คือฟิลด์เทนเซอร์สมมาตร, ไม่เสื่อมสภาพ, อันดับสอง ที่กำหนดช่วงปริภูมิ-เวลาและผลคูณภายในของเวกเตอร์ ซึ่งจากสิ่งนี้จะสามารถหาการเชื่อมต่อที่เข้ากันได้กับเมตริกและไม่มีทอร์ชันเพียงหนึ่งเดียว และปริมาณความโค้งทั้งหมดของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงแมนิโฟลด์และแผนภูมิพิกัด, เวกเตอร์สัมผัสและวัน-ฟอร์ม, เมตริกเทนเซอร์และองค์ประกอบเส้น, การยกและการลดดัชนี, การเชื่อมต่อแบบเลวี-ชีวิตาและสัญลักษณ์คริสทอฟเฟล, การหาอนุพันธ์โคแวเรียนต์, และเทนเซอร์ความโค้ง (รีมันน์, ริชชี, สเกลาร์) ที่สร้างขึ้นจากเมตริก

Core questions

• เมตริกเทนเซอร์เข้ารหัสข้อมูลทางเรขาคณิตทั้งหมดเกี่ยวกับปริภูมิ-เวลาได้อย่างไร?
• เหตุใดจึงจำเป็นต้องใช้อนุพันธ์โคแวเรียนต์แทนอนุพันธ์ย่อยธรรมดา?
• เทนเซอร์ความโค้งถูกสร้างขึ้นจากเมตริกได้อย่างไร?

Key concepts

• แมนิโฟลด์และแผนภูมิพิกัด
• เวกเตอร์สัมผัสและวัน-ฟอร์ม
• เมตริกเทนเซอร์และองค์ประกอบเส้น
• สัญลักษณ์คริสทอฟเฟล
• อนุพันธ์โคแวเรียนต์
• ความโค้งริชชีและสเกลาร์

Key theories

เมตริกและองค์ประกอบเส้น

เมตริกเทนเซอร์กำหนดช่วงกำลังสองระหว่างเหตุการณ์ใกล้เคียงและผลคูณภายในของเวกเตอร์ ดังนั้นความยาว, มุม, เวลา, และความสัมพันธ์เชิงสาเหตุทั้งหมดจึงมาจากฟิลด์เทนเซอร์สมมาตรเพียงหนึ่งเดียวบนแมนิโฟลด์

การเชื่อมต่อแบบเลวี-ชีวิตาและความโค้ง

ความเข้ากันได้ของเมตริกและการหายไปของทอร์ชันทำให้เกิดการเชื่อมต่อที่ไม่เหมือนใคร ซึ่งสัญลักษณ์คริสทอฟเฟลกำหนดการหาอนุพันธ์โคแวเรียนต์และการเคลื่อนย้ายแบบขนาน ซึ่งจากสิ่งนี้จะสามารถสร้างความโค้งรีมันน์, ริชชี, และสเกลาร์ได้

Clinical relevance

เมตริกและแคลคูลัสเทนเซอร์เป็นเครื่องมือสำหรับการทำนายเชิงปริมาณทุกอย่างในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ตั้งแต่การเขียนคำตอบเช่นเมตริกชวาร์ซชิลด์และฟรีดมันน์ ไปจนถึงการจำลองเชิงตัวเลขของสัมพัทธภาพที่ใช้ในการจำลองการรวมตัวของหลุมดำและดาวนิวตรอน

History

รีมันน์ได้ขยายเรขาคณิตภายในของเกาส์ไปยังแมนิโฟลด์มิติสูงขึ้นในปี 1854; คริสทอฟเฟล, ริชชี, และเลวี-ชีวิตาได้สร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์ของเทนเซอร์ในทศวรรษต่อมา ซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่ไอน์สไตน์และกรอสส์มันน์ต้องการอย่างแท้จริงในการกำหนดทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

Key figures

• Bernhard Riemann
• Gregorio Ricci-Curbastro
• Tullio Levi-Civita
• Elwin Bruno Christoffel

Seminal works

• wald1984
• carroll2004

Frequently asked questions

เหตุใดทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจึงต้องการอนุพันธ์โคแวเรียนต์?

อนุพันธ์ย่อยธรรมดาของส่วนประกอบเทนเซอร์ไม่ได้แปลงเป็นเทนเซอร์ภายใต้การเปลี่ยนแปลงพิกัดตามอำเภอใจ; อนุพันธ์โคแวเรียนต์จะเพิ่มพจน์การเชื่อมต่อเพื่อให้การหาอนุพันธ์สร้างเทนเซอร์ที่แท้จริงและกฎทางฟิสิกส์ยังคงอยู่ในรูปแบบเดียวกันในทุกระบบพิกัด

เมตริกเป็นสิ่งทางกายภาพหรือเป็นเพียงความสะดวกของพิกัด?

เมตริกเป็นฟิลด์ทางกายภาพ: มันคือฟิลด์แรงโน้มถ่วงของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ซึ่งกำหนดช่วงเวลาที่วัดได้และการเคลื่อนที่ของสสาร และพลวัตของมันถูกกำหนดโดยสมการสนามของไอน์สไตน์แทนที่จะถูกเลือกอย่างอิสระ