สมการของไอน์สไตน์และเทนเซอร์ความเค้น-พลังงาน

สมการของไอน์สไตน์กำหนดให้เทนเซอร์ของไอน์สไตน์ ซึ่งเป็นปริมาณความโค้งที่สร้างขึ้นจากเมตริก เท่ากับเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานที่อธิบายความหนาแน่นและการไหลของพลังงานและโมเมนตัมในสสาร

Definition

สมการของไอน์สไตน์คือสมการสนาม G + (พจน์จักรวาลวิทยา) = 8 พาย G/c^4 คูณ T โดยที่เทนเซอร์ของไอน์สไตน์ G เข้ารหัสความโค้งของปริภูมิ-เวลา และเทนเซอร์ความเค้น-พลังงาน T เข้ารหัสเนื้อหาพลังงานและโมเมนตัมของสสารและสนามที่ไม่ใช่แรงโน้มถ่วง

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างเทนเซอร์ของไอน์สไตน์จากเทนเซอร์ริชชีและสเกลาร์ เทนเซอร์ความเค้น-พลังงานและส่วนประกอบของมัน (ความหนาแน่นพลังงาน ความหนาแน่นโมเมนตัม ความดัน และความเค้น) ตัวอย่างของของไหลสมบูรณ์และแม่เหล็กไฟฟ้า เอกลักษณ์เบียนคีแบบหดตัวที่รับประกันการอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัม และการลดรูปสนามอ่อนไปสู่สมการปัวซงแบบนิวตัน

Core questions

• เทนเซอร์ของไอน์สไตน์ถูกสร้างขึ้นอย่างไรเพื่อให้การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมเป็นไปโดยอัตโนมัติ?
• ปริมาณทางกายภาพใดบ้างที่ถูกเข้ารหัสในเทนเซอร์ความเค้น-พลังงาน?
• สมการลดรูปเป็นแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันได้อย่างไรในขีดจำกัดสนามอ่อน?

Key concepts

• เทนเซอร์ของไอน์สไตน์
• เทนเซอร์ริชชีและสเกลาร์
• เทนเซอร์ความเค้น-พลังงาน
• ของไหลสมบูรณ์
• เอกลักษณ์เบียนคี
• ขีดจำกัดแบบนิวตัน (สนามอ่อน)

Key theories

เทนเซอร์ของไอน์สไตน์และเอกลักษณ์เบียนคี

เทนเซอร์ของไอน์สไตน์คือการรวมกันที่เป็นเอกลักษณ์ของเทนเซอร์ริชชีและความโค้งสเกลาร์ที่มีไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์ ดังนั้นเอกลักษณ์เบียนคีแบบหดตัวจึงบังคับให้เทนเซอร์ความเค้น-พลังงานถูกอนุรักษ์ ซึ่งเป็นการฝังการอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมเฉพาะที่ไว้ในเรขาคณิต

ความเค้น-พลังงานในฐานะแหล่งกำเนิดแรงโน้มถ่วง

เทนเซอร์ความเค้น-พลังงานรวบรวมความหนาแน่นพลังงาน โมเมนตัม ความดัน และความเค้นเฉือน และเป็นแหล่งกำเนิดแรงโน้มถ่วงทั้งหมดในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ดังนั้นความดันและพลังงาน ไม่ใช่แค่มวลเท่านั้น ที่มีส่วนทำให้เกิดความโค้งของปริภูมิ-เวลา

Clinical relevance

เนื่องจากความดันและพลังงานมีแรงโน้มถ่วง เทนเซอร์ความเค้น-พลังงานจึงควบคุมโครงสร้างของดาวฤกษ์และดาวนิวตรอนผ่านสมดุลอุทกสถิตเชิงสัมพัทธภาพ พฤติกรรมของยุคจักรวาลวิทยาที่ถูกครอบงำด้วยรังสีและสสาร และเงื่อนไขต่างๆ ซึ่งเป็นเงื่อนไขพลังงานที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีเอกฐานและพลังงานบวก

History

ไอน์สไตน์พยายามในปี 1915 ที่จะหาสมการสนามที่เป็นโคแวเรียนต์ทั่วไปและลดรูปเป็นแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันในขณะที่อนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัม การตระหนักว่าเทนเซอร์ของไอน์สไตน์เป็นแบบไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์โดยอัตโนมัติผ่านเอกลักษณ์เบียนคี ได้แก้ไขความยากลำบากและกำหนดรูปแบบสุดท้ายของสมการ

Key figures

• Albert Einstein
• Luigi Bianchi
• David Hilbert

Seminal works

• einstein1916
• wald1984

Frequently asked questions

ทำไมความดันจึงมีแรงโน้มถ่วงในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป แต่ไม่มีในแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน?

แหล่งกำเนิดแรงโน้มถ่วงในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปคือเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานทั้งหมด ซึ่งส่วนประกอบความเค้นเชิงพื้นที่รวมถึงความดัน ในขีดจำกัดแบบนิวตัน พจน์เหล่านี้มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับพลังงานมวลนิ่ง ดังนั้นจึงปรากฏเฉพาะความหนาแน่นของมวลเท่านั้น แต่ในสนามที่รุนแรงและสสารเชิงสัมพัทธภาพ ความดันมีส่วนร่วมที่วัดได้

การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมเป็นผลมาจากสมการได้อย่างไร?

เทนเซอร์ของไอน์สไตน์เป็นไปตามเอกลักษณ์เบียนคีแบบหดตัว ซึ่งหมายความว่าไดเวอร์เจนซ์โคแวเรียนต์ของมันเป็นศูนย์โดยเอกลักษณ์ การกำหนดให้มันเป็นสัดส่วนกับเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานจึงบังคับให้เทนเซอร์นั้นถูกอนุรักษ์แบบโคแวเรียนต์อันเป็นผลลัพธ์ในตัวของเรขาคณิต