ส่วนกลับกำลังสอง

กฎส่วนกลับกำลังสอง ซึ่งเกาส์เรียกว่าทฤษฎีบททองคำ อธิบายความสัมพันธ์ว่าจำนวนเฉพาะ p เป็นกำลังสองมอดุโล q หรือไม่ กับการที่ q เป็นกำลังสองมอดุโล p หรือไม่ โดยให้เกณฑ์ที่มีประสิทธิภาพและสมมาตรอย่างไม่คาดคิดสำหรับการหาคำตอบได้

Definition

จำนวนเต็มเป็นส่วนตกค้างกำลังสองมอดุโลจำนวนเฉพาะ p หากมันสมภาคกับกำลังสองสมบูรณ์มอดุโล p ส่วนกลับกำลังสองคือทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับการหาคำตอบของ x กำลังสองสมภาคกับ q มอดุโล p กับ x กำลังสองสมภาคกับ p มอดุโล q สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ p และ q ที่แตกต่างกัน

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงส่วนตกค้างกำลังสองและส่วนตกค้างที่ไม่ใช่กำลังสองมอดุโลจำนวนเฉพาะ, เกณฑ์ของออยเลอร์, สัญลักษณ์เลอจ็องด์รและคุณสมบัติการคูณของมัน, สัญลักษณ์จาโคบี, กฎเสริมสองข้อ (สำหรับลบหนึ่งและสำหรับสอง), และกฎส่วนกลับหลักเอง รวมถึงบทบาทของมันในฐานะตัวอย่างแรกของกฎส่วนกลับในทฤษฎีฟิลด์ชั้น (class field theory)

Core questions

• เมื่อกำหนดจำนวนเฉพาะคี่ p ส่วนตกค้างใดบ้างที่เป็นกำลังสอง และเกณฑ์ของออยเลอร์ตัดสินสิ่งนี้ได้อย่างไร?
• สัญลักษณ์เลอจ็องด์รและจาโคบีเข้ารหัสข้อมูลส่วนตกค้างและมีพฤติกรรมการคูณอย่างไร?
• กฎส่วนกลับยืนยันอะไรอย่างแม่นยำ และกฎเสริมจัดการกับลบหนึ่งและสองอย่างไร?
• เหตุใดส่วนกลับกำลังสองจึงถูกมองว่าเป็นต้นแบบของกฎส่วนกลับที่สูงขึ้นในทฤษฎีฟิลด์ชั้น?

Key theories

เกณฑ์ของออยเลอร์และสัญลักษณ์เลอจ็องด์ร

จำนวนเต็ม a เป็นส่วนตกค้างกำลังสองมอดุโลจำนวนเฉพาะคี่ p ก็ต่อเมื่อ a ยกกำลัง (p ลบหนึ่ง)/2 สมภาคกับหนึ่ง สัญลักษณ์เลอจ็องด์รบันทึกเครื่องหมายนี้และมีคุณสมบัติการคูณอย่างสมบูรณ์ในอาร์กิวเมนต์ด้านบน

กฎส่วนกลับกำลังสอง

สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ p และ q ที่แตกต่างกัน ผลคูณของสัญลักษณ์เลอจ็องด์รทั้งสองเท่ากับลบหนึ่งยกกำลัง ((p ลบหนึ่ง)/2)((q ลบหนึ่ง)/2 ดังนั้น ส่วนกลับจะล้มเหลวก็ต่อเมื่อจำนวนเฉพาะทั้งสองสมภาคกับสามมอดุโลสี่

กฎเสริมและสัญลักษณ์จาโคบี

กฎแยกต่างหากกำหนดว่าเมื่อใดที่ลบหนึ่งและสองเป็นส่วนตกค้าง และสัญลักษณ์จาโคบีขยายสัญลักษณ์เลอจ็องด์รไปยังมอดุโลประกอบ ทำให้สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยไม่ต้องแยกตัวประกอบ

Clinical relevance

ส่วนกลับและสัญลักษณ์จาโคบีให้ขั้นตอนวิธีที่รวดเร็วในการตัดสินใจว่าจำนวนใดเป็นส่วนตกค้างกำลังสอง ซึ่งใช้ในการทดสอบจำนวนเฉพาะ (Solovay-Strassen), ในการคำนวณรากที่สองมอดุโลจำนวนเฉพาะ, และในแผนการเข้ารหัสลับที่ความปลอดภัยขึ้นอยู่กับสมมติฐานส่วนตกค้างกำลังสอง

History

กฎนี้ถูกคาดการณ์โดยออยเลอร์และเลอจ็องด์ร และได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ครั้งแรกโดยเกาส์ในปี ค.ศ. 1796 ซึ่งเขากลับมาศึกษาซ้ำแล้วซ้ำเล่าและให้การพิสูจน์ที่แตกต่างกันถึงแปดแบบ ปัจจุบันมีการพิสูจน์มากกว่าสองร้อยแบบ การขยายแนวคิดนี้ไปสู่กำลังที่สูงขึ้นเป็นแรงบันดาลใจให้อายเซนสไตน์, คุมเมอร์, และท้ายที่สุดคือกฎส่วนกลับของทฤษฎีฟิลด์ชั้น

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

เหตุใดเกาส์จึงพิสูจน์ทฤษฎีบทเดียวกันถึงแปดครั้ง?

การพิสูจน์แต่ละครั้งได้ให้ความกระจ่างเกี่ยวกับโครงสร้างที่แตกต่างกัน (ผลรวมเกาส์, การนับจุดบนตาราง, ไซโคลโทมี) และเกาส์แสวงหาการพิสูจน์ที่สามารถขยายไปสู่กฎส่วนกลับที่สูงขึ้น ซึ่งเป็นสิ่งที่ขับเคลื่อนการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในภายหลัง

ความแตกต่างระหว่างสัญลักษณ์เลอจ็องด์รและจาโคบีคืออะไร?

สัญลักษณ์เลอจ็องด์รถูกกำหนดสำหรับมอดุโลจำนวนเฉพาะคี่และตรวจจับส่วนตกค้างกำลังสองได้อย่างแม่นยำ สัญลักษณ์จาโคบีขยายแนวคิดนี้ไปยังมอดุโลประกอบคี่สำหรับการคำนวณ แต่ค่าหนึ่งไม่ได้รับประกันว่าจำนวนนั้นเป็นส่วนตกค้างอีกต่อไป