ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มากล่าวว่า ไม่มีจำนวนเต็มบวกสามจำนวนใดที่สอดคล้องกับสมการ a ยกกำลัง n บวก b ยกกำลัง n เท่ากับ c ยกกำลัง n สำหรับเลขชี้กำลัง n ที่มากกว่าสอง ซึ่งเป็นข้อกล่าวอ้างที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์มานานกว่าสามศตวรรษ จนกระทั่งได้รับการแก้ไขผ่านมอดูลาริตีของเส้นโค้งเชิงวงรี

Definition

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาคือข้อความที่ว่าสมการ x ยกกำลัง n บวก y ยกกำลัง n เท่ากับ z ยกกำลัง n ไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มบวก x, y, z เมื่อใดก็ตามที่เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม n มีค่ามากกว่าสอง

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงข้อความของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา การลดรูปเป็นเลขชี้กำลังเฉพาะและเป็นเส้นโค้งแฟร์มา ความก้าวหน้าของคุมเมอร์ในศตวรรษที่สิบเก้าโดยใช้จำนวนอุดมคติและจำนวนเฉพาะปกติ เส้นโค้งเฟรย์ที่เกี่ยวข้องกับคำตอบสมมุติฐาน ข้อคาดการณ์เอปไซลอนที่พิสูจน์โดยริเบต์ซึ่งเชื่อมโยงกับมอดูลาริตี และการพิสูจน์ของไวล์สเกี่ยวกับมอดูลาริตีของเส้นโค้งเชิงวงรีแบบกึ่งเสถียรที่ปิดข้อโต้แย้ง

Core questions

• เหตุใดจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับเลขชี้กำลังเฉพาะและสำหรับเลขชี้กำลังสี่?
• วิธีการแบบคลาสสิก โดยเฉพาะทฤษฎีจำนวนอุดมคติและจำนวนเฉพาะปกติของคุมเมอร์ มีความก้าวหน้าในปัญหานี้มากน้อยเพียงใด?
• เส้นโค้งเฟรย์เปลี่ยนคำตอบแฟร์มาสมมุติฐานให้เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีที่มีคุณสมบัติที่เป็นไปไม่ได้ได้อย่างไร?
• ทฤษฎีบทของริเบต์และทฤษฎีบทมอดูลาริตีรวมกันเพื่อทำให้บทพิสูจน์สมบูรณ์ได้อย่างไร?

Key theories

จำนวนเฉพาะปกติของคุมเมอร์

คุมเมอร์พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาสำหรับเลขชี้กำลังเฉพาะปกติทั้งหมดโดยใช้จำนวนอุดมคติ โดยนำเสนอเครื่องมือกลุ่มชั้นของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในกระบวนการนี้

เส้นโค้งเฟรย์และทฤษฎีบทของริเบต์

คำตอบแฟร์มาที่ไม่เป็นศูนย์จะให้เส้นโค้งเชิงวงรีเฟรย์ ซึ่งริเบต์พิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถเป็นมอดูลาร์ได้ ดังนั้นมอดูลาริตีของเส้นโค้งดังกล่าวจะบังคับให้สมการของแฟร์มาไม่มีคำตอบ

ทฤษฎีบทมอดูลาริตี (ไวล์ส-เทย์เลอร์)

ไวล์ส ร่วมกับเทย์เลอร์ พิสูจน์ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีตรรกยะแบบกึ่งเสถียรเป็นมอดูลาร์ ซึ่งขัดแย้งกับการมีอยู่ของเส้นโค้งเฟรย์ และด้วยเหตุนี้จึงพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา

Clinical relevance

แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะไม่มีการประยุกต์ใช้โดยตรง แต่กลไกการพิสูจน์ — การแทนกาโลอิส ทฤษฎีการบิดเบือน และการยกมอดูลาริตี — ได้กลายเป็นเทคโนโลยีหลักในโครงการแลงแลนด์สและในวิธีการทางเรขาคณิตเชิงเลขคณิตที่แจ้งให้ทราบถึงการเข้ารหัสด้วยเส้นโค้งเชิงวงรีด้วย

History

แฟร์มาบันทึกข้อกล่าวอ้างนี้ไว้ประมาณปี 1637 ที่ขอบหนังสือ Diophantus ของเขา โดยอ้างว่ามีบทพิสูจน์ที่เขาไม่เคยเขียนลงไป ออยเลอร์, โซฟี แฌร์แม็ง และคุมเมอร์ได้แก้ไขหลายกรณีในช่วงสองศตวรรษถัดมา เฟรย์, แซร์ และริเบต์ได้ลดรูปให้เป็นมอดูลาริตีในทศวรรษ 1980 และไวล์สได้ประกาศบทพิสูจน์ในปี 1993 ซึ่งเสร็จสมบูรณ์กับเทย์เลอร์ในปี 1994 และตีพิมพ์ในปี 1995

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

แฟร์มามีบทพิสูจน์จริงหรือ?

เกือบจะแน่นอนว่าไม่ใช่บทพิสูจน์ทั่วไปที่ถูกต้อง วิธีการที่จำเป็นได้รับการพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ยี่สิบเท่านั้น และข้อโต้แย้งใดๆ ในศตวรรษที่สิบเจ็ดคงจะอาศัยสมมติฐาน เช่น การแยกตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งล้มเหลวในริงที่เกี่ยวข้อง

สมการเกี่ยวกับเลขยกกำลังเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งเชิงวงรีอย่างไร?

คำตอบสมมุติฐานสามารถบรรจุลงในเส้นโค้งเชิงวงรีเฟรย์ได้ คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของมันจะขัดแย้งกับทฤษฎีบทมอดูลาริตี ดังนั้นมอดูลาริตีของเส้นโค้งเชิงวงรีจึงบังคับให้สมการเดิมไม่สามารถแก้ไขได้