ทฤษฎีอันดับและแลตทิซ
ทฤษฎีอันดับศึกษาเซตที่มาพร้อมกับแนวคิดที่ว่าสมาชิกหนึ่งนำหน้าอีกสมาชิกหนึ่ง และทฤษฎีแลตทิซศึกษาอันดับที่ทุกคู่ของสมาชิกมีขอบเขตบนน้อยที่สุดและขอบเขตล่างมากที่สุด
Definition
การศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับอันดับบางส่วน — ความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ ปฏิสมมาตร และถ่ายทอด — และเกี่ยวกับแลตทิซ ซึ่งเป็นเซตอันดับบางส่วนที่ทุกสองสมาชิกมีตัวเชื่อม (supremum) และตัวร่วม (infimum)
Scope
สาขาวิชานี้ครอบคลุมถึงเซตอันดับบางส่วนและแผนภาพของเซตดังกล่าว โซ่และปฏิโซ่ ฟังก์ชันคงอันดับ แลตทิซในฐานะโครงสร้างทั้งแบบอันดับและแบบพีชคณิต แลตทิซแบบกระจายและแลตทิซแบบบูล และทฤษฎีการเป็นตัวแทน ทฤษฎีนี้เป็นภาษาที่เป็นหนึ่งเดียวสำหรับโครงสร้างเชิงการจัด และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์เชิงไม่ต่อเนื่องเข้ากับพีชคณิต ตรรกศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี
Sub-topics
Core questions
- ความสัมพันธ์ของการนำหน้าในหมู่สมาชิกสามารถทำให้เป็นทางการและแสดงภาพได้อย่างไร?
- เซตอันดับจะมีขอบเขตบนและขอบเขตล่างเมื่อใด ทำให้เป็นแลตทิซ?
- แลตทิซใดบ้างที่เป็นแบบกระจาย และมีการเป็นตัวแทนอย่างไร?
- ทวิภาคเชิงอันดับและทฤษฎีจุดตรึงเกิดขึ้นได้อย่างไร?
Key concepts
- อันดับบางส่วน
- แผนภาพ Hasse
- โซ่และปฏิโซ่
- ตัวเชื่อมและตัวร่วม
- แลตทิซแบบกระจาย
- พีชคณิตแบบบูล
Clinical relevance
ทฤษฎีอันดับและแลตทิซเป็นพื้นฐานของความหมายของภาษาโปรแกรม (ทฤษฎีโดเมนและจุดตรึง) การวิเคราะห์แนวคิดเชิงรูปนัยในการทำเหมืองข้อมูล พีชคณิตของตรรกศาสตร์ และโครงสร้างของกลุ่มเชิงการจัดที่จัดเรียงตามการรวมหรือการปรับละเอียด
History
ทฤษฎีแลตทิซได้รับการพัฒนาเป็นสาขาวิชาอิสระโดย Birkhoff ในทศวรรษ 1930 โดยต่อยอดจากผลงานของ Dedekind ในศตวรรษที่ 19; ด้านเชิงการจัดของทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาโดยทฤษฎีฟังก์ชัน Mobius บน posets ของ Rota
Key figures
- Garrett Birkhoff
- Richard Dedekind
- Gian-Carlo Rota
Related topics
Seminal works
- davey2002
Frequently asked questions
- ความแตกต่างระหว่างอันดับบางส่วนและอันดับทั้งหมดคืออะไร?
- ในอันดับทั้งหมด สมาชิกสองตัวใดๆ สามารถเปรียบเทียบกันได้ ในขณะที่อันดับบางส่วนอาจมีบางคู่ที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ เช่นเดียวกับเซตย่อยที่จัดเรียงตามการรวม
- เหตุใดแลตทิซจึงเป็นทั้งอันดับและพีชคณิต?
- แลตทิซสามารถนิยามได้ด้วยอันดับที่มีตัวเชื่อมและตัวร่วมอยู่ หรือเทียบเท่ากันด้วยการดำเนินการทวิภาคสองอย่างที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของแลตทิซ; มุมมองทั้งสองอธิบายโครงสร้างเดียวกัน