แลตทิซและพีชคณิตแบบบูล

แลตทิซคือเซตอันดับที่ทุกคู่ของสมาชิกมีขอบเขตบนน้อยที่สุดและขอบเขตล่างมากที่สุด และพีชคณิตแบบบูลคือแลตทิซแบบกระจายที่มีส่วนเติมเต็ม ซึ่งจำลองพีชคณิตของตรรกะและเซต

Definition

แลตทิซคือเซตอันดับบางส่วนที่สมาชิกสองตัวใดๆ มีการรวม (join) และการแยก (meet) ส่วนพีชคณิตแบบบูลคือแลตทิซแบบกระจายที่มีสมาชิกน้อยที่สุดและมากที่สุด ซึ่งสมาชิกทุกตัวมีส่วนเติมเต็ม

Scope

หัวข้อนี้กล่าวถึงแลตทิซในฐานะโครงสร้างเชิงอันดับและเชิงพีชคณิตแบบคู่ การดำเนินการรวม (join) และการดำเนินการแยก (meet) แลตทิซแบบกระจายและแบบมอดูลาร์ ส่วนเติมเต็ม และพีชคณิตแบบบูลพร้อมทฤษฎีการแทนของมัน ซึ่งรวมถึงการแทนของเบิร์กฮอฟฟ์สำหรับแลตทิซแบบกระจายจำกัด และการแทนของสโตนสำหรับพีชคณิตแบบบูล ซึ่งเชื่อมโยงอันดับ พีชคณิต และโทโพโลยี

Core questions

• เมื่อใดที่ขอบเขตบนสุดและขอบเขตล่างสุดของคู่สมาชิกมีอยู่ และกฎใดบ้างที่พวกมันเป็นไปตามนั้น?
• แลตทิซใดบ้างที่เป็นแบบกระจายหรือแบบมอดูลาร์ และมีลักษณะเฉพาะอย่างไร?
• แลตทิซแบบกระจายจำกัดถูกแทนด้วยเซตของออร์เดอร์ไอดีลได้อย่างไร?
• พีชคณิตแบบบูลทำให้ตรรกะของประพจน์และพีชคณิตของเซตเป็นทางการได้อย่างไร?

Key concepts

• การรวม (Join) และการแยก (meet)
• แลตทิซแบบมีขอบเขต แบบสมบูรณ์ และแบบมีส่วนเติมเต็ม
• แลตทิซแบบกระจายและแบบมอดูลาร์
• พีชคณิตแบบบูล
• การแทนของเบิร์กฮอฟฟ์
• การแทนของสโตน

Key theories

ทฤษฎีบทการแทนของเบิร์กฮอฟฟ์

แลตทิซแบบกระจายจำกัดทุกอันสมสัณฐานกับแลตทิซของดาวน์-เซตของโพเซตของสมาชิกที่ไม่สามารถรวมได้ ซึ่งให้คำอธิบายที่สมบูรณ์และเป็นรูปธรรมของแลตทิซแบบกระจายจำกัด

ทฤษฎีบทการแทนของสโตน

พีชคณิตแบบบูลทุกอันสมสัณฐานกับฟิลด์ของเซต และพีชคณิตแบบบูลจำกัดทุกอันสมสัณฐานกับพาวเวอร์เซตของเซตจำกัด ซึ่งเป็นรากฐานของพีชคณิตนามธรรมของตรรกะในการดำเนินการของเซตที่เป็นรูปธรรม

Clinical relevance

พีชคณิตแบบบูลจำลองวงจรตรรกะดิจิทัล ตรรกะเชิงประพจน์ และการดำเนินการของเซต ในขณะที่แลตทิซจัดโครงสร้างลำดับชั้นของประเภท ระดับความปลอดภัยในการควบคุมการเข้าถึง และเซตปิดของการวิเคราะห์แนวคิดเชิงรูปนัย

History

พีชคณิตของตรรกะของบูลในปี 1854 ทฤษฎีแลตทิซของเบิร์กฮอฟฟ์ในทศวรรษ 1930 และทฤษฎีการแทนของสโตนในปี 1936 ได้ร่วมกันสร้างทฤษฎีพีชคณิตสมัยใหม่ของอันดับและตรรกะ

Key figures

• George Boole
• Garrett Birkhoff
• Marshall Stone

Seminal works

• davey2002

Frequently asked questions

แลตทิซทุกอันเป็นแบบกระจายหรือไม่?

ไม่; แลตทิซที่ไม่ใช่แบบกระจายที่เล็กที่สุดคือรูปเพชรและรูปห้าเหลี่ยม และแลตทิซจะเป็นแบบกระจายก็ต่อเมื่อมันไม่มีรูปใดรูปหนึ่งเป็นสับแลตทิซ

พีชคณิตแบบบูลเกี่ยวข้องกับทฤษฎีเซตอย่างไร?

พาวเวอร์เซตของเซตใดๆ ที่เรียงลำดับโดยการรวมกันกับการยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และส่วนเติมเต็ม เป็นพีชคณิตแบบบูล และพีชคณิตแบบบูลจำกัดทุกอันมีรูปแบบนี้