การจำแนกและการเกิดซ้ำของลูกโซ่มาร์คอฟ

การจำแนกสถานะของลูกโซ่มาร์คอฟเผยให้เห็นว่าสถานะใดที่ถูกเข้าเยี่ยมชมอย่างไม่จำกัดจำนวนครั้ง และสถานะใดที่ถูกละทิ้งไปในที่สุด โดยแบ่งพื้นที่สถานะออกเป็นชั้นการสื่อสารที่มีพฤติกรรมระยะยาวร่วมกัน

Definition

การจำแนกสถานะวิเคราะห์ลูกโซ่มาร์คอฟโดยการจัดกลุ่มสถานะที่สามารถเข้าถึงกันได้ให้อยู่ในชั้นการสื่อสาร และติดป้ายกำกับแต่ละสถานะว่าเป็นสถานะเกิดซ้ำ (recurrent) หากลูกโซ่กลับมายังสถานะนั้นด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง หรือเป็นสถานะชั่วคราว (transient) หากมีความน่าจะเป็นที่เป็นบวกที่จะไม่กลับมาอีกเลย

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงความสัมพันธ์ของการเข้าถึงและการสื่อสาร การแยกส่วนพื้นที่สถานะออกเป็นชั้นการสื่อสาร ภาวะลดทอนไม่ได้ (irreducibility) ภาวะทวิลักษณ์ของการเกิดซ้ำ-ภาวะชั่วคราว (recurrence-transience dichotomy) และเกณฑ์ของมัน ภาวะเกิดซ้ำเชิงบวกเทียบกับภาวะเกิดซ้ำเป็นศูนย์ (positive versus null recurrence) ภาวะเป็นคาบ (periodicity) และการใช้ความน่าจะเป็นของการผ่านครั้งแรกและการเข้าถึง (first-passage and hitting probabilities) เพื่อกำหนดคุณสมบัติเหล่านี้

Core questions

• สถานะสองสถานะจะสื่อสารกันเมื่อใด และสิ่งนี้แบ่งพื้นที่สถานะอย่างไร?
• อะไรคือสิ่งที่แยกความแตกต่างระหว่างสถานะเกิดซ้ำกับสถานะชั่วคราว?
• ภาวะเกิดซ้ำเชิงบวกแตกต่างจากภาวะเกิดซ้ำเป็นศูนย์อย่างไร?
• ภาวะเป็นคาบมีบทบาทอย่างไรในพฤติกรรมระยะยาวของลูกโซ่?

Key theories

ภาวะทวิลักษณ์ของการเกิดซ้ำ-ภาวะชั่วคราว

สถานะเป็นแบบเกิดซ้ำก็ต่อเมื่อจำนวนครั้งที่คาดว่าจะกลับมาเป็นอนันต์ หรือเทียบเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะกลับมานั้นลู่ออก ภาวะเกิดซ้ำและภาวะชั่วคราวเป็นคุณสมบัติของชั้นที่สถานะทั้งหมดที่สื่อสารกันมีร่วมกัน

ภาวะเกิดซ้ำเชิงบวกเทียบกับภาวะเกิดซ้ำเป็นศูนย์

สถานะเกิดซ้ำเป็นแบบเกิดซ้ำเชิงบวกเมื่อเวลาที่คาดว่าจะกลับมามีค่าจำกัด และเป็นแบบเกิดซ้ำเป็นศูนย์เมื่อมีค่าอนันต์ ภาวะเกิดซ้ำเชิงบวกเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการมีอยู่ของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบคงที่

Clinical relevance

การกำหนดภาวะเกิดซ้ำช่วยตัดสินว่าการเดินสุ่ม (random walk) จะกลับไปยังจุดเริ่มต้นหรือไม่ คิวจะว่างเปล่าอย่างไม่จำกัดจำนวนครั้งหรือไม่ และกระบวนการประชากรจะคงอยู่หรือถูกดูดซับไปหรือไม่ ผลลัพธ์คลาสสิกของ Polya ที่ว่าการเดินสุ่มแบบสมมาตรอย่างง่ายเป็นแบบเกิดซ้ำในหนึ่งและสองมิติ แต่เป็นแบบชั่วคราวในสามมิติหรือมากกว่านั้น ถือเป็นผลลัพธ์ที่เป็นแบบอย่าง

History

คำถามเกี่ยวกับการเกิดซ้ำถูกทำให้ชัดเจนขึ้นโดยการวิเคราะห์การเดินสุ่มบนโครงข่ายจำนวนเต็มของ Polya ในปี 1921 และทฤษฎีการเกิดซ้ำและภาวะชั่วคราวแบบอิงชั้นอย่างเป็นระบบได้รับการพัฒนาในช่วงกลางศตวรรษที่ยี่สิบโดย Chung, Feller และคนอื่นๆ จนกลายเป็นรูปแบบที่พบในตำราเรียนสมัยใหม่

Key figures

• George Polya
• Andrey Markov
• Kai Lai Chung

Seminal works

• norris1997

Frequently asked questions

สถานะที่เป็นแบบเกิดซ้ำหมายความว่าอย่างไร?

เมื่อเริ่มต้นจากสถานะนั้น ลูกโซ่จะกลับมายังสถานะนั้นด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง และดังนั้นจึงกลับมาอย่างไม่จำกัดจำนวนครั้ง สถานะชั่วคราวคือสถานะที่ลูกโซ่อาจจากไปตลอดกาลด้วยความน่าจะเป็นที่เป็นบวก

เหตุใดมิติจึงมีความสำคัญต่อการเกิดซ้ำของการเดินสุ่ม?

การเดินสุ่มแบบสมมาตรอย่างง่ายเป็นแบบเกิดซ้ำในมิติหนึ่งและสอง แต่เป็นแบบชั่วคราวในมิติสามและสูงกว่านั้น เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะกลับไปยังจุดเริ่มต้นขึ้นอยู่กับว่าการเดินสุ่มสามารถหลบหนีไปได้เร็วแค่ไหน ซึ่งจะเพิ่มขึ้นตามมิติ