สมการเชิงเส้นและสมการเพลล์

สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นสามารถหาคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ด้วยขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด ในขณะที่สมการเพลล์ ซึ่งเป็นการหาคำตอบจำนวนเต็มของ x กำลังสองลบ d y กำลังสองเท่ากับหนึ่ง เผยให้เห็นโครงสร้างเชิงลึกของฟิลด์กำลังสองจริงผ่านเศษส่วนต่อเนื่อง

Definition

สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นเป็นการหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ส่วนสมการเพลล์คือสมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง x กำลังสองลบ d y กำลังสองเท่ากับหนึ่ง สำหรับจำนวนเต็มบวก d ที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งคำตอบของสมการนี้จะอยู่ในรูปของอนันต์ชุดที่สร้างขึ้นได้จากจำนวนจำกัด

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นในสองตัวแปรหรือมากกว่า และการหาคำตอบที่สมบูรณ์ผ่านตัวหารร่วมมากและเอกลักษณ์ของเบซูต์ สมการเพลล์และรูปแบบเชิงลบและรูปแบบทั่วไป การกระจายเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนอตรรกยะกำลังสอง คำตอบมูลฐานและวิธีการสร้างคำตอบทั้งหมดจากคำตอบมูลฐาน และความเชื่อมโยงกับหน่วยและหน่วยมูลฐานของฟิลด์กำลังสองจริง

Core questions

• สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มเมื่อใด และชุดคำตอบทั้งหมดอธิบายได้อย่างไร?
• เหตุใดสมการเพลล์จึงมีคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบชัดเสมอสำหรับ d ที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์?
• การกระจายเศษส่วนต่อเนื่องของรากที่สองของ d สร้างคำตอบมูลฐานได้อย่างไร?
• คำตอบของสมการเพลล์ทั้งหมดสร้างขึ้นจากคำตอบมูลฐานได้อย่างไร และสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับหน่วยของฟิลด์กำลังสองอย่างไร?

Key theories

การหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น

สมการ a x บวก b y เท่ากับ c มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อตัวหารร่วมมากของ a และ b หาร c ลงตัว และเอกลักษณ์ของเบซูต์จะให้คำตอบเฉพาะและชุดคำตอบแบบพารามิเตอร์เดียวที่สมบูรณ์

การมีอยู่และโครงสร้างของคำตอบสมการเพลล์

สำหรับ d ที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ สมการเพลล์มีคำตอบเป็นอนันต์; มีคำตอบมูลฐานอยู่ และคำตอบอื่นๆ ทั้งหมดได้มาจากการยกกำลังของหน่วยที่สอดคล้องกันในฟิลด์กำลังสองจริง

เศษส่วนต่อเนื่องและจำนวนอตรรกยะกำลังสอง

การกระจายเศษส่วนต่อเนื่องของรากที่สองของ d เป็นคาบในที่สุด และการลู่เข้าของมันให้คำตอบมูลฐานของสมการเพลล์ ซึ่งเชื่อมโยงการหาคำตอบของไดโอแฟนไทน์กับการประมาณค่าของไดโอแฟนไทน์

Clinical relevance

สมการประเภทเพลล์และเศษส่วนต่อเนื่องปรากฏในขั้นตอนวิธีสำหรับการคำนวณหน่วยมูลฐานและตัวควบคุมของฟิลด์กำลังสอง และในการประมาณอัตราส่วนอตรรกยะ ซึ่งมีการนำไปใช้จริงในการออกแบบปฏิทิน อัตราส่วนเกียร์ และการลดแลตทิซ

History

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย โดยเฉพาะอย่างยิ่งพรหมคุปต์ในศตวรรษที่เจ็ด และภาสกรที่สองด้วยวิธีจักราวาละ ได้แก้สมการเพลล์ก่อนยุโรปหลายศตวรรษ แฟร์มาต์ได้ตั้งเป็นโจทย์ท้าทาย และลากรองจ์ได้ให้บทพิสูจน์ที่สมบูรณ์ครั้งแรกในยุโรปในปี ค.ศ. 1768; ชื่อเพลล์เป็นการระบุผิดทางประวัติศาสตร์โดยออยเลอร์

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

เหตุใดจึงเรียกว่าสมการเพลล์?

เนื่องจากความผิดพลาดทางประวัติศาสตร์: ออยเลอร์ได้ระบุว่าสมการนี้เป็นของจอห์น เพลล์ แม้ว่าเพลล์จะทำงานเกี่ยวกับเรื่องนี้น้อยมาก; ความก้าวหน้าครั้งสำคัญในช่วงแรกทำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย และโดยแฟร์มาต์และลากรองจ์

คุณจะหาคำตอบของสมการเพลล์ได้อย่างไร?

ขยายรากที่สองของ d เป็นเศษส่วนต่อเนื่อง; การลู่เข้าเป็นคาบของมันจะให้คำตอบมูลฐาน ซึ่งจากนั้นจะสร้างคำตอบอื่นๆ ทั้งหมดโดยการประกอบซ้ำๆ