แบบจำลองไอซิงและระบบแลตทิซ

แบบจำลองไอซิงของสปินที่มีอันตรกิริยาบนแลตทิซเป็นแบบจำลองจุลภาคเชิงบรรทัดฐานของการเปลี่ยนสถานะ ซึ่งสามารถหาผลเฉลยได้อย่างแม่นยำในมิติที่ต่ำ และเป็นกระบวนทัศน์สำหรับพฤติกรรมแบบร่วมมือ

Definition

แบบจำลองไอซิงเป็นแบบจำลองแลตทิซที่แต่ละตำแหน่งมีสปินซึ่งมีค่าได้สองค่าและมีอันตรกิริยากับเพื่อนบ้าน โดยทำหน้าที่เป็นแบบจำลองจุลภาคที่ง่ายที่สุดที่แสดงการเปลี่ยนสถานะทางอุณหพลศาสตร์ไปสู่สถานะที่เป็นระเบียบ

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมแบบจำลองไอซิงและการขยายผลบนแลตทิซ การประมาณค่าสนามเฉลี่ยและการทำนาย การไม่มีการเปลี่ยนสถานะในหนึ่งมิติ ผลเฉลยที่แม่นยำของออนซาเกอร์ในสองมิติ วิธีเมทริกซ์ถ่ายโอน และการใช้แบบจำลองเหล่านี้เป็นระบบจุลภาคที่ง่ายที่สุดที่แสดงการเป็นแม่เหล็กโดยธรรมชาติและจุดวิกฤต แบบจำลองที่เกี่ยวข้อง เช่น แบบจำลองพอตส์และไฮเซนเบิร์ก ได้รับการกล่าวถึงในฐานะส่วนขยาย

Core questions

• การคัปปลิ้งเพื่อนบ้านใกล้ที่สุดในแบบจำลองไอซิงทำให้เกิดการเป็นแม่เหล็กโดยธรรมชาติได้อย่างไร?
• เหตุใดแบบจำลองไอซิงหนึ่งมิติจึงไม่มีการเปลี่ยนสถานะที่อุณหภูมิจำกัด?
• ผลเฉลยที่แม่นยำสองมิติของออนซาเกอร์เผยให้เห็นอะไรเกี่ยวกับพฤติกรรมวิกฤต?
• ทฤษฎีสนามเฉลี่ยประมาณแบบจำลองไอซิงอย่างไรและล้มเหลวตรงไหน?

Key concepts

• สปินและการคัปปลิ้งเพื่อนบ้านใกล้ที่สุด
• การเป็นแม่เหล็กโดยธรรมชาติและอันดับ
• การประมาณค่าสนามเฉลี่ย
• วิธีเมทริกซ์ถ่ายโอน
• ผลเฉลยที่แม่นยำสองมิติของออนซาเกอร์

Key theories

ผลเฉลยที่แม่นยำของออนซาเกอร์สำหรับแบบจำลองไอซิงสองมิติ

ออนซาเกอร์ได้หาผลเฉลยที่แม่นยำสำหรับแบบจำลองไอซิงสองมิติแบบไม่มีสนาม โดยแสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนสถานะที่แท้จริงด้วยความร้อนจำเพาะที่ลู่ออกแบบลอการิทึม และให้เลขชี้กำลังวิกฤตที่แตกต่างจากการทำนายของสนามเฉลี่ย

Clinical relevance

นอกเหนือจากเรื่องแม่เหล็กแล้ว แบบจำลองไอซิงยังสามารถนำไปใช้กับก๊าซแลตทิซ โลหะผสมไบนารี และปัญหาเครือข่ายประสาทและการหาค่าเหมาะที่สุด ทำให้เป็นเครื่องมือทดสอบที่หลากหลายสำหรับปรากฏการณ์แบบร่วมมือ และเป็นเกณฑ์มาตรฐานสำหรับวิธีการคำนวณ เช่น การจำลองแบบมอนติคาร์โล

History

แบบจำลองนี้เสนอโดยเลนซ์และหาผลเฉลยในหนึ่งมิติโดยไอซิงในปี 1925 ในตอนแรกเชื่อกันว่าแบบจำลองนี้ง่ายเกินไปที่จะแสดงการเปลี่ยนสถานะ จนกระทั่งไพเอิร์ลส์โต้แย้ง และผลเฉลยที่แม่นยำในสองมิติของออนซาเกอร์ในปี 1944 ได้พิสูจน์ว่าแบบจำลองนี้มีจุดวิกฤตที่แท้จริง

Key figures

• Ernst Ising
• Wilhelm Lenz
• Lars Onsager

Seminal works

• onsager1944
• stanley1971

Frequently asked questions

เหตุใดแบบจำลองไอซิงจึงมีความสำคัญมากทั้งที่ดูเหมือนเป็นอุดมคติ?

ความเรียบง่ายของมันทำให้สามารถวิเคราะห์และคำนวณได้ง่าย ในขณะที่ยังคงจับแก่นแท้ของการจัดเรียงแบบร่วมมือ ดังนั้นจึงทำหน้าที่เป็นระบบอ้างอิงสำหรับการทดสอบแนวคิดต่างๆ เช่น ความเป็นสากล ทฤษฎีสนามเฉลี่ย และกลุ่มการปรับมาตรฐาน