มอดูลอิสระ

มอดูลอิสระ (free module) คือมอดูลที่ยอมรับฐาน (basis) ซึ่งเป็นสิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดกับปริภูมิเวกเตอร์ (vector space) ในทฤษฎีมอดูล และเป็นหน่วยการสร้างสากลที่มอดูลทั้งหมดเป็นผลหาร (quotients) ของมัน

Definition

มอดูลอิสระเหนือริง (ring) คือมอดูลที่สมสัณฐาน (isomorphic) กับผลบวกตรง (direct sum) ของสำเนาของริง หรือเทียบเท่ากับมอดูลที่มีฐาน ซึ่งเป็นเซตก่อกำเนิดเชิงอิสระเชิงเส้น (linearly independent generating set)

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมคำจำกัดความของมอดูลอิสระ คุณสมบัติสากล (universal property) อันดับ (rank) และคุณสมบัติมิติไม่แปรเปลี่ยน (invariant dimension property) สำหรับริงสลับที่ (commutative rings) การนำเสนอของมอดูลตามอำเภอใจในฐานะผลหารของมอดูลอิสระ และแนวคิดที่เกี่ยวข้องของมอดูลเชิงฉาย (projective modules)

Core questions

• การที่มอดูลมีฐานหมายความว่าอย่างไร?
• คุณสมบัติสากลใดที่บ่งบอกถึงมอดูลอิสระ?
• อันดับของมอดูลอิสระถูกนิยามไว้อย่างชัดเจนหรือไม่?
• มอดูลทุกตัวเกิดขึ้นได้อย่างไรในฐานะผลหารของมอดูลอิสระ?

Key theories

คุณสมบัติสากลของมอดูลอิสระ

มอดูลอิสระบนเซตหนึ่งเป็นสากลในบรรดามอดูลที่รับการส่งค่าจากเซตนั้น: ฟังก์ชันใดๆ จากฐานไปยังมอดูลจะขยายไปสู่สาทิสสัณฐานมอดูล (module homomorphism) ได้อย่างไม่ซ้ำกัน ทำให้มอดูลอิสระเป็นวัตถุอิสระของทฤษฎีมอดูล

การไม่แปรเปลี่ยนของอันดับ

เหนือริงสลับที่ที่มีเอกลักษณ์ (identity) ฐานสองฐานใดๆ ของมอดูลอิสระจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน ดังนั้นอันดับจึงเป็นตัวแปรไม่เปลี่ยนรูปที่ถูกนิยามไว้อย่างชัดเจน ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดการไม่แปรเปลี่ยนของมิติสำหรับปริภูมิเวกเตอร์

การนำเสนอแบบอิสระ

ทุกมอดูลเป็นผลหารของมอดูลอิสระโดยมอดูลย่อยของความสัมพันธ์ ซึ่งให้การนำเสนอโดยตัวก่อกำเนิดและความสัมพันธ์ เมื่อมอดูลความสัมพันธ์เป็นอิสระด้วย นี่คือการแยกส่วนแบบอิสระ ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของพีชคณิตโฮโมโลจิคัล

Clinical relevance

มอดูลอิสระเป็นเครื่องมือสำคัญในการคำนวณและพีชคณิตโฮโมโลจิคัล (homological algebra): การนำเสนอและการแยกส่วน (resolutions) โดยมอดูลอิสระใช้ในการคำนวณตัวแปรไม่เปลี่ยนรูป (invariants) เช่น Tor และ Ext และเหนือโดเมนไอดีลหลัก (principal-ideal domains) การทำงานร่วมกันระหว่างมอดูลย่อยอิสระและมอดูลย่อยบิด (torsion submodules) ทำให้เกิดทฤษฎีโครงสร้างที่อยู่เบื้องหลังรูปแบบบัญญัติ (canonical forms) และการจำแนกกลุ่มอาเบล (abelian groups)

History

แนวคิดของฐานสำหรับมอดูลได้ขยายมาจากฐานของปริภูมิเวกเตอร์และกลุ่มอาเบลอิสระในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 19 มอดูลอิสระและการแยกส่วนของมันกลายเป็นสิ่งสำคัญเมื่อพีชคณิตโฮโมโลจิคัลเริ่มแพร่หลายในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 ซึ่งใช้ในการวัดว่ามอดูลเบี่ยงเบนจากการเป็นอิสระมากน้อยเพียงใด

Key figures

• Emmy Noether
• Heinrich Brandt
• Wolfgang Krull

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• atiyah1969

Frequently asked questions

ทุกมอดูลเป็นอิสระหรือไม่?

ไม่ใช่ เหนือฟิลด์ (field) ทุกมอดูลเป็นอิสระ แต่เหนือริงทั่วไป มอดูลส่วนใหญ่ไม่ใช่ ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มมอดุโล n ไม่มีฐานในฐานะมอดูลเหนือจำนวนเต็ม มอดูลอิสระคือมอดูลที่ยอมรับฐานเท่านั้น

มอดูลเชิงฉายเกี่ยวข้องกับมอดูลอิสระอย่างไร?

มอดูลเชิงฉายคือผลบวกตรงของมอดูลอิสระ ซึ่งเป็นกลุ่มที่ใหญ่กว่าเล็กน้อย เหนือริงบางชนิด เช่น โดเมนไอดีลหลัก มอดูลเชิงฉายที่ก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated projective modules) และมอดูลอิสระจะตรงกัน แต่โดยทั่วไปแล้วจะแตกต่างกัน