ผลคูณเทนเซอร์
ผลคูณเทนเซอร์ของสองมอดูลคือตัวรับสากลของแผนที่ทวิเชิงเส้น ซึ่งแปลงโครงสร้างทวิเชิงเส้นให้เป็นเชิงเส้น และช่วยให้สามารถเปลี่ยนสเกลาร์ระหว่างริงได้
Definition
ผลคูณเทนเซอร์ของสองมอดูลเหนือริงสลับที่ได้คือมอดูลพร้อมกับแผนที่ทวิเชิงเส้นเข้าไปในมอดูลนั้นซึ่งเป็นสากล: แผนที่ทวิเชิงเส้นทุกอันที่ออกจากคู่ของมอดูลจะแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันผ่านมอดูลนั้นในฐานะแผนที่เชิงเส้น
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างและคุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์ของมอดูล พฤติกรรมของมันต่อตัวก่อกำเนิดและความสัมพันธ์ การเปลี่ยนฐานและการขยายสเกลาร์ ผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์และของพีชคณิต และความแม่นยำทางขวาของฟังก์ชันเทนเซอร์
Core questions
- แผนที่ทวิเชิงเส้นสามารถเปลี่ยนเป็นแผนที่เชิงเส้นได้อย่างไร?
- คุณสมบัติสากลใดที่นิยามผลคูณเทนเซอร์?
- ผลคูณเทนเซอร์ดำเนินการเปลี่ยนสเกลาร์ระหว่างริงได้อย่างไร?
- ผลคูณเทนเซอร์มีปฏิสัมพันธ์กับผลรวมโดยตรงและลำดับที่แน่นอนอย่างไร?
Key theories
- คุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์
- ผลคูณเทนเซอร์เป็นมอดูลเดียวที่แผนที่ทวิเชิงเส้นทุกอันจากคู่ของมอดูลแยกตัวประกอบเป็นแผนที่เชิงเส้น ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของมันจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมและควบคุมคุณสมบัติทั้งหมดของมัน
- การขยายสเกลาร์
- การเทนเซอร์มอดูลกับริงที่ใหญ่ขึ้นตามโฮโมมอร์ฟิซึมของริงจะขยายสเกลาร์ของมัน เปลี่ยนมอดูลเหนือริงหนึ่งให้เป็นมอดูลเหนือริงอื่น ซึ่งเป็นกลไกพื้นฐานของการเปลี่ยนฐานในพีชคณิตและเรขาคณิต
- ความแม่นยำทางขวาของฟังก์ชันเทนเซอร์
- การเทนเซอร์รักษาโคเคอร์เนลและการส่งผ่านแต่โดยทั่วไปไม่รักษาการฉีด ดังนั้นจึงมีความแม่นยำทางขวา ความล้มเหลวของความแม่นยำทางซ้ายวัดได้โดยฟังก์ชันอนุพันธ์ Tor ซึ่งเป็นรากฐานของพีชคณิตโฮโมโลจิคัล
Clinical relevance
ผลคูณเทนเซอร์มีอยู่ทั่วไป: ใช้สร้างพีชคณิตหลายเชิงเส้นและพีชคณิตภายนอกและสมมาตร จำลองระบบควอนตัมเชิงประกอบเป็นผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิสถานะ ใช้ในการเปลี่ยนฐานในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต และเป็นพื้นฐานของเทนเซอร์ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และการเรียนรู้ของเครื่อง
History
เทนเซอร์เกิดขึ้นในงานของ Ricci และ Levi-Civita เกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และในพีชคณิตภายนอกของ Grassmann ในขณะที่ผลคูณเทนเซอร์เชิงมอดูลและคุณสมบัติสากลของมันถูกสรุปในกลางศตวรรษที่ยี่สิบเมื่อพีชคณิตโฮโมโลจิคัลพัฒนาขึ้น กลายเป็นเครื่องมือมาตรฐานผ่านงานของ Cartan, Eilenberg และ Mac Lane
Key figures
- Hermann Grassmann
- Élie Cartan
- Emmy Noether
- Saunders Mac Lane
Related topics
Seminal works
- dummit2004
- atiyah1969
- lang2002
Frequently asked questions
- ผลคูณเทนเซอร์แก้ปัญหาอะไร?
- มันให้มอดูลเดียวที่แผนที่ทวิเชิงเส้นทั้งหมดแยกตัวประกอบเป็นเชิงเส้น ดังนั้นคำถามทวิเชิงเส้นจึงกลายเป็นคำถามเชิงเส้น คุณสมบัติสากลนี้ ไม่ใช่สูตรที่ชัดเจนใดๆ คือสิ่งที่ทำให้การสร้างนี้มีประโยชน์และมีพฤติกรรมที่ดี
- ทำไมผลคูณเทนเซอร์จึงมีความแม่นยำทางขวาเท่านั้น?
- การเทนเซอร์รักษาการส่งผ่านและโคเคอร์เนล แต่สามารถทำลายการฉีดได้ เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบอาจยุบตัวลง ความล้มเหลวที่แม่นยำถูกจับโดยฟังก์ชัน Tor ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมผลคูณเทนเซอร์จึงถูกศึกษาควบคู่ไปกับพีชคณิตโฮโมโลจิคัล