ทฤษฎีความอลวน

ทฤษฎีความอลวนศึกษาเกี่ยวกับระบบเชิงกำหนด (deterministic systems) ที่มีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น (sensitive dependence on initial conditions) ซึ่งทำให้พฤติกรรมในระยะยาวของระบบนั้นไม่สามารถคาดการณ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

Definition

ระบบพลวัตจะมีความอลวนเมื่อเป็นระบบเชิงกำหนด แต่แสดงวิถีโคจรแบบไม่เป็นคาบและมีขอบเขต (aperiodic bounded trajectories) โดยมีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น ทำให้สถานะที่อยู่ใกล้เคียงกันแยกตัวออกจากกันแบบทวีคูณ และการคาดการณ์จะเสื่อมถอยลงอย่างรวดเร็วเมื่อเวลาผ่านไป

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นและปรากฏการณ์ผีเสื้อขยับปีก (butterfly effect), เลขชี้กำลังลยาปูนอฟ (Lyapunov exponents) ในฐานะมาตรวัดการแยกตัว, ตัวดึงดูดประหลาด (strange attractors) และโครงสร้างแฟร็กทัล (fractal structure), เส้นทางสู่ความอลวน เช่น การเพิ่มเป็นสองเท่าของคาบ (period doubling), พลวัตเชิงสัญลักษณ์ (symbolic dynamics) และแผนที่เกือกม้า (horseshoe map), และขอบเขตการคาดการณ์ของระบบอลวน

Core questions

• อะไรคือสิ่งที่แยกแยะการเคลื่อนที่แบบอลวนออกจากการเคลื่อนที่แบบสุ่มหรือการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนเพียงอย่างเดียว?
• ความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นถูกวัดปริมาณได้อย่างไร?
• โครงสร้างทางเรขาคณิตใดบ้าง เช่น ตัวดึงดูดประหลาด ที่สนับสนุนความอลวน?
• ระบบเปลี่ยนผ่านสู่ความอลวนด้วยเส้นทางใดบ้าง?

Key theories

ความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นและเลขชี้กำลังลยาปูนอฟ

วิถีโคจรแบบอลวนจะแยกตัวออกจากกันแบบทวีคูณด้วยอัตราที่กำหนดโดยเลขชี้กำลังลยาปูนอฟที่เป็นบวก ซึ่งเป็นตัวกำหนดขอบเขตว่าระบบสามารถคาดการณ์ล่วงหน้าได้ไกลแค่ไหน

ตัวดึงดูดประหลาด

ระบบอลวนแบบมีการสูญเสียพลังงาน (dissipative chaotic systems) จะเข้าสู่ตัวดึงดูดที่มีเรขาคณิตแบบแฟร็กทัล เช่น ตัวดึงดูดลอเรนซ์ ซึ่งพลวัตบนนั้นมีความอลวนแต่มีขอบเขต

แผนที่เกือกม้าและพลวัตเชิงสัญลักษณ์

แผนที่เกือกม้าของสเมลแสดงให้เห็นว่าการยืดและการพับทำให้เกิดเซตไม่แปรเปลี่ยนแบบอลวนที่แข็งแกร่ง ซึ่งวิถีโคจรของมันถูกเข้ารหัสด้วยลำดับสัญลักษณ์ ทำให้เกิดกลไกที่เข้มงวดสำหรับความอลวน

Clinical relevance

ความอลวนอธิบายถึงข้อจำกัดในการคาดการณ์สภาพอากาศและภูมิอากาศ, พลวัตที่ไม่สม่ำเสมอของจังหวะการเต้นของหัวใจและชีววิทยาประชากร, การผสมในของไหล, และถูกนำไปใช้ประโยชน์ในการสื่อสารที่ปลอดภัยและการสร้างตัวเลขสุ่ม การค้นพบนี้ได้ปรับเปลี่ยนความคาดหวังเกี่ยวกับการคาดการณ์เชิงกำหนด

History

ปวงกาเรได้สังเกตพฤติกรรมอลวนในปัญหาวัตถุสามชิ้น แต่การค้นพบของลอเรนซ์ในปี 1963 เกี่ยวกับความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นในแบบจำลองสภาพอากาศอย่างง่ายเป็นจุดเริ่มต้นที่ทำให้สาขาวิชานี้เป็นรูปเป็นร่าง แผนที่เกือกม้าของสเมลได้ให้กลไกที่เข้มงวด และผลงานของไฟเกนบาวม์ในช่วงทศวรรษ 1970 ได้เปิดเผยค่าคงที่สากลในเส้นทางสู่ความอลวนผ่านการเพิ่มเป็นสองเท่าของคาบ

Key figures

• Henri Poincare
• Edward Lorenz
• Stephen Smale
• Mitchell Feigenbaum

Seminal works

• lorenz1963
• strogatz2015
• wiggins1990

Frequently asked questions

ปรากฏการณ์ผีเสื้อขยับปีกคืออะไร?

เป็นชื่อที่สื่อความหมายถึงความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น: ในระบบอลวน การเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยในสถานะเริ่มต้น ซึ่งเปรียบเสมือนผีเสื้อกระพือปีก อาจนำไปสู่ความแตกต่างอย่างมากในสถานะภายหลัง คำนี้มาจากผลงานด้านบรรยากาศของลอเรนซ์

ความอลวนหมายความว่าการคาดการณ์เป็นไปไม่ได้หรือไม่?

การคาดการณ์ระยะสั้นยังคงเป็นไปได้ แต่ข้อผิดพลาดจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ ดังนั้นจึงมีขอบเขตการคาดการณ์ที่จำกัดซึ่งกำหนดโดยเลขชี้กำลังลยาปูนอฟที่ใหญ่ที่สุด นอกเหนือจากนั้น จะสามารถคาดการณ์ได้เพียงคุณสมบัติทางสถิติของระบบเท่านั้น ไม่ใช่สถานะที่แน่นอนของระบบ