แฟกเตอร์เบย์และภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่ม

ภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่ม (marginal likelihood) คือความน่าจะเป็นของข้อมูลภายใต้แบบจำลอง หลังจากรวมพารามิเตอร์ออกไปแล้ว และอัตราส่วนของภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่มสองแบบ ซึ่งเรียกว่าแฟกเตอร์เบย์ (Bayes factor) จะใช้วัดหลักฐานระหว่างแบบจำลองต่างๆ

Definition

ภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่มของแบบจำลองคือปริพันธ์ของภาวะน่าจะเป็น (likelihood) เหนือไพรเออร์ (prior); แฟกเตอร์เบย์ระหว่างสองแบบจำลองคืออัตราส่วนของภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่มของแบบจำลองเหล่านั้น และเมื่อคูณด้วยอัตราต่อรองไพรเออร์ (prior odds) จะได้อัตราต่อรองโพสทีเรียร์ (posterior odds) ที่สนับสนุนแบบจำลองหนึ่ง

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมคำจำกัดความและการตีความของภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่ม, แฟกเตอร์เบย์และการสอบเทียบเป็นหมวดหมู่หลักฐาน, การลงโทษความซับซ้อนโดยอัตโนมัติ, ปรากฏการณ์ Jeffreys-Lindley ที่แสดงความไวต่อไพรเออร์แบบกระจาย, และวิธีการคำนวณ เช่น bridge sampling

Core questions

• ภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่มคืออะไร และมันรวบรวมหลักการมีดโกนของออคคัม (Occam's razor) โดยอัตโนมัติได้อย่างไร?
• แฟกเตอร์เบย์ถูกตีความว่าเป็นความแข็งแกร่งของหลักฐานได้อย่างไร?
• เหตุใดแฟกเตอร์เบย์จึงมีความไวต่อการเลือกไพรเออร์ ดังที่แสดงโดยปรากฏการณ์ Jeffreys-Lindley?
• ภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่มถูกคำนวณในทางปฏิบัติได้อย่างไร?

Key concepts

• ภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่ม
• แฟกเตอร์เบย์
• อัตราต่อรองโพสทีเรียร์
• มีดโกนของออคคัม
• ปรากฏการณ์ Jeffreys-Lindley
• bridge sampling
• ความไวของไพรเออร์

Key theories

แฟกเตอร์เบย์ในฐานะหลักฐาน

แฟกเตอร์เบย์แปลงอัตราต่อรองไพรเออร์เป็นอัตราต่อรองโพสทีเรียร์ และอ่านได้จากมาตราส่วนที่สอบเทียบแล้วว่าเป็นน้ำหนักของหลักฐานที่ข้อมูลให้สำหรับแบบจำลองหนึ่งเทียบกับอีกแบบจำลองหนึ่ง

ปรากฏการณ์ Jeffreys-Lindley

เนื่องจากภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่มขึ้นอยู่กับการกระจายของไพรเออร์ ไพรเออร์แบบกระจายที่กำหนดเองได้อาจทำให้แฟกเตอร์เบย์สนับสนุนแบบจำลองที่เรียบง่ายกว่าโดยไม่คำนึงถึงข้อมูล ดังนั้นจึงไม่ควรใช้ไพรเออร์ที่ไม่เหมาะสมสำหรับการเปรียบเทียบแบบจำลอง

Clinical relevance

แฟกเตอร์เบย์ให้การวัดหลักฐานที่เป็นหลักการซึ่งใช้ในพันธุศาสตร์ จิตวิทยา และฟิสิกส์สำหรับการเปรียบเทียบสมมติฐาน แต่การพึ่งพาไพรเออร์หมายความว่าต้องรายงานพร้อมกับไพรเออร์ที่สร้างขึ้นมา

History

เจฟฟรีย์ส (Jeffreys) พัฒนาแฟกเตอร์เบย์สำหรับการทดสอบสมมติฐานในช่วงทศวรรษ 1930; ปรากฏการณ์ของลินด์ลีย์ (Lindley) ในปี 1957 เผยให้เห็นความไวต่อไพรเออร์แบบกระจาย การทบทวนของคาสส์ (Kass) และราฟเทอรี (Raftery) ในปี 1995 ได้กำหนดมาตรฐานการตีความและสำรวจแนวทางการคำนวณ

Debates

การใช้ไพรเออร์ที่ไม่เหมาะสมหรือไม่ชัดเจน

เนื่องจากภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่มไม่ถูกกำหนดสำหรับไพรเออร์ที่ไม่เหมาะสมและไม่เสถียรสำหรับไพรเออร์ที่กระจายมาก จึงมีการถกเถียงกันเกี่ยวกับไพรเออร์เริ่มต้นสำหรับการเปรียบเทียบแบบจำลอง และว่าแฟกเตอร์เบย์เหมาะสมหรือไม่ในสถานการณ์ดังกล่าว

Key figures

• Harold Jeffreys
• Dennis Lindley
• Robert Kass
• Adrian Raftery

Seminal works

• kass1995
• lindley1957

Frequently asked questions

ฉันสามารถใช้ไพรเออร์ที่ไม่ให้ข้อมูล (noninformative prior) เพื่อคำนวณแฟกเตอร์เบย์ได้หรือไม่?

โดยทั่วไปแล้วไม่: ไพรเออร์ที่ไม่เหมาะสมทำให้ภาวะน่าจะเป็นส่วนเพิ่มไม่ถูกกำหนด และไพรเออร์ที่เหมาะสมแต่กระจายมากจะทำให้แฟกเตอร์เบย์เอนเอียงไปทางแบบจำลองที่เรียบง่ายกว่า ซึ่งเป็นแก่นแท้ของปรากฏการณ์ Jeffreys-Lindley ดังนั้นแฟกเตอร์เบย์จึงต้องใช้ไพรเออร์ที่เหมาะสมซึ่งเลือกมาอย่างระมัดระวัง