ระบบมอดอลและสัจพจน์ของระบบ

สัจพจน์มอดอลที่แตกต่างกันเข้ารหัสแนวคิดที่แตกต่างกันของความจำเป็น และแต่ละสัจพจน์สอดคล้องกับเงื่อนไขเชิงโครงสร้างบนความสัมพันธ์ที่เข้าถึงได้ (accessibility relation)

Definition

ระบบมอดอลปกติคือชุดของทฤษฎีบทที่ปิดภายใต้กฎของตรรกะคลาสสิก บวกกับสัจพจน์การกระจาย K และกฎการทำให้จำเป็น (necessitation rule) โดยระบบที่แข็งแกร่งกว่าจะได้รับจากการเพิ่มสัจพจน์เฉพาะที่สอดคล้องกับคุณสมบัติของความสัมพันธ์ที่เข้าถึงได้

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมลำดับชั้นมาตรฐานของระบบมอดอลปกติที่สร้างขึ้นบนระบบพื้นฐาน K โดยการเพิ่มสัจพจน์ เช่น T (การสะท้อนกลับ), 4 (การถ่ายทอด), B (สมมาตร) และ 5 (ความเป็นยุคลิด) ซึ่งให้ผลเป็นระบบต่างๆ เช่น T, S4 และ S5 โดยจะกล่าวถึงทฤษฎีการสมนัย (correspondence theory) ซึ่งเป็นการจับคู่ที่เป็นระบบระหว่างสัจพจน์มอดอลและเงื่อนไขเฟรม (frame conditions) พร้อมกับความสมเหตุสมผล (soundness), ความสมบูรณ์ (completeness) และคำถามที่ว่าระบบใดเหมาะสมที่สุดในการอธิบายความจำเป็นเชิงอภิปรัชญา ตรรกะ หรือญาณวิทยา

Core questions

• สัจพจน์ใดควรควบคุมความจำเป็นประเภทหนึ่งๆ?
• สัจพจน์มอดอลสอดคล้องกับเงื่อนไขบนความสัมพันธ์ที่เข้าถึงได้อย่างไร?
• S5 เป็นตรรกะที่ถูกต้องของความจำเป็นเชิงอภิปรัชญาหรือไม่ หรือระบบที่อ่อนแอกว่าเหมาะสมกว่า?
• ผลลัพธ์ด้านความสมเหตุสมผลและความสมบูรณ์ยืนยันอะไรสำหรับระบบเหล่านี้?

Key concepts

• ระบบ K และการทำให้จำเป็น
• สัจพจน์ T, 4, B, 5
• เฟรมแบบสะท้อนกลับ, ถ่ายทอด, สมมาตร, ยุคลิด
• ทฤษฎีการสมนัย
• S4 และ S5
• ความสมบูรณ์ผ่านแบบจำลองบัญญัติ

Key theories

ทฤษฎีการสมนัย

สัจพจน์มอดอลเฉพาะแต่ละตัวสอดคล้องกับคุณสมบัติของความสัมพันธ์ที่เข้าถึงได้ — T สอดคล้องกับการสะท้อนกลับ, 4 สอดคล้องกับการถ่ายทอด, B สอดคล้องกับสมมาตร, 5 สอดคล้องกับความเป็นยุคลิด — ดังนั้นระบบจึงสมเหตุสมผลและสมบูรณ์เมื่อเทียบกับกลุ่มของเฟรมที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านั้น

การอนุมานอย่างเคร่งครัดและระบบของ Lewis

C. I. Lewis ได้นำเสนอระบบ S1-S5 เพื่อจัดรูปแบบการอนุมานอย่างเคร่งครัดและหลีกเลี่ยงความขัดแย้งของการอนุมานเชิงวัตถุ (material implication) ซึ่งเป็นการวางรากฐานการศึกษาเชิงสัจพจน์สมัยใหม่ของมอดอล

History

หนังสือ Symbolic Logic ของ Lewis และ Langford ในปี 1932 ได้นำเสนอระบบ S1-S5 ในรูปแบบสัจพจน์ หลังจากความหมายเชิงความสัมพันธ์ของ Kripke ทฤษฎีการสมนัยได้เปิดเผยความเชื่อมโยงที่เป็นระบบระหว่างสัจพจน์และเงื่อนไขเฟรม และความสมบูรณ์ได้รับการยืนยันผ่านการสร้างแบบจำลองบัญญัติ (canonical-model constructions) ซึ่งถูกรวบรวมไว้ในตำราเรียน เช่น Hughes และ Cresswell

Debates

ระบบใดที่อธิบายความจำเป็นเชิงอภิปรัชญาได้ดีที่สุด?

ไม่ว่าตรรกะของความจำเป็นเชิงอภิปรัชญาจะเป็น S5 ที่แข็งแกร่ง ซึ่งความเป็นไปได้นั้นเป็นไปได้โดยไม่ขึ้นกับเงื่อนไข หรือเป็นระบบที่อ่อนแอกว่าที่อนุญาตให้พื้นที่ของความเป็นไปได้นั้นแตกต่างกันไปในแต่ละโลก

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

S4 และ S5 แตกต่างกันอย่างไร?

S4 เพิ่มสัจพจน์ที่ว่าสิ่งที่จำเป็นนั้นจำเป็นอย่างแน่นอน (ความสัมพันธ์ที่เข้าถึงได้แบบถ่ายทอด) S5 เพิ่มเติมว่าสิ่งที่เป็นไปได้นั้นเป็นไปได้โดยจำเป็น (ความสัมพันธ์ที่เข้าถึงได้กลายเป็นความสัมพันธ์สมมูล) ใน S5 สถานะมอดอลของประโยคใดๆ นั้นไม่ขึ้นกับเงื่อนไข ซึ่งหลายคนมองว่าเหมาะสมกับความจำเป็นเชิงอภิปรัชญา