Теорема Нётер и симметрии

Теорема Нётер устанавливает, что каждой непрерывной симметрии действия системы соответствует сохраняющаяся величина, что придает законам сохранения глубокое структурное происхождение.

Definition

Теорема Нётер утверждает, что для каждой непрерывной однопараметрической симметрии, которая оставляет действие инвариантным, существует соответствующая величина, сохраняющаяся вдоль движения системы.

Scope

Эта тема охватывает формулировку и значение теоремы Нётер для механических систем, сопоставление конкретных симметрий конкретным законам сохранения: инвариантности относительно сдвига во времени — энергии, инвариантности относительно пространственного сдвига — линейному импульсу, и инвариантности относительно вращения — угловому моменту, а также общее понятие непрерывных групп симметрий, действующих на лагранжиан.

Core questions

• Что значит, что симметрия оставляет действие инвариантным?
• Какие сохраняющиеся величины соответствуют симметрии сдвига, вращения и сдвига во времени?
• Почему симметричное происхождение законов сохранения имеет значение за пределами классической механики?

Key concepts

• Непрерывная симметрия
• Инвариантность действия
• Сохраняющаяся величина (интеграл движения)
• Инвариантность относительно сдвига во времени и энергия
• Инвариантность относительно сдвига и импульс
• Инвариантность относительно вращения и угловой момент

Key theories

Теорема Нётер

Каждая непрерывная симметрия действия порождает сохраняющийся ток или величину, предоставляя единый принцип, из которого следуют классические законы сохранения.

Соответствие симметрии-сохранения

Инвариантность относительно сдвига во времени приводит к сохранению энергии, относительно пространственного сдвига — к сохранению линейного импульса, а относительно вращения — к сохранению углового момента.

Clinical relevance

Принцип симметрии-сохранения является фундаментальным во всей современной физике: он организует законы сохранения в теории поля и физике элементарных частиц, где калибровочные симметрии порождают сохраняющиеся заряды, и направляет построение физических теорий на основе их требований симметрии.

History

Эмми Нётер доказала свою теорему в 1918 году в Гёттингене, работая с Клейном и Гильбертом над сохранением энергии в общей теории относительности. Её результат показал, что классические законы сохранения, ранее установленные в каждом конкретном случае, все проистекают из непрерывных симметрий действия — объединение, которое стало центральным в физике двадцатого века.

Key figures

• Emmy Noether
• Felix Klein
• David Hilbert

Seminal works

• noether1918
• arnold1989

Frequently asked questions

Применяется ли теорема Нётер только к классической механике?

Нет. Это общий результат о вариационных системах, и он в равной степени применим к классической теории поля и, в своих квантовых аналогах, лежит в основе сохраняющихся зарядов и правил отбора в физике элементарных частиц.

Какая симметрия обеспечивает сохранение энергии?

Инвариантность системы относительно сдвига во времени, означающая, что законы не меняются от одного момента к другому, соответствует по теореме Нётер сохранению энергии.