Интегралы по траекториям и теория возмущений

Интеграл по траекториям выражает квантовые амплитуды как сумму по всем возможным конфигурациям поля, обеспечивая основу для пертурбационных расчетов, организованных с помощью диаграмм Фейнмана.

Definition

Интеграл по траекториям — это формулировка квантовой теории, в которой амплитуда перехода между состояниями задается взвешенной суммой по всем конфигурациям поля, а теория возмущений — это разложение взаимодействующих амплитуд по степеням константы связи, представленное диаграмматически с помощью диаграмм Фейнмана.

Scope

Эта тема охватывает формулировку квантовой механики и теории поля Фейнмана с помощью интегралов по траекториям, в которой амплитуды вероятности вычисляются путем суммирования вкладов от каждой возможной истории, взвешенных по действию. Она рассматривает систематическое разложение взаимодействующих теорий по степеням константы связи, преобразование каждого члена в диаграммы Фейнмана с пропагаторами и вершинами, а также извлечение сечений рассеяния и скоростей распада из этих амплитуд.

Core questions

• Как суммирование по всем возможным историям воспроизводит квантовую динамику?
• Как взаимодействующая теория поля разлагается в ряд по константе связи?
• Как диаграммы Фейнмана кодируют члены пертурбативного разложения?
• Как извлекаются измеримые сечения и скорости распада из амплитуд рассеяния?

Key concepts

• Суммирование по историям
• Действие и фазовый множитель
• Пропагаторы Фейнмана
• Вершины взаимодействия
• Диаграммы древесного уровня и петлевые диаграммы
• Сечения и скорости распада

Key theories

Формулировка с помощью интегралов по траекториям

Квантовые амплитуды получаются путем интегрирования фазового множителя exp(iS) по всем конфигурациям поля, при этом классическая траектория восстанавливается в пределе, когда действие велико по сравнению с постоянной Планка.

Диаграммная теория возмущений

Каждый порядок в разложении по константе связи соответствует набору диаграмм Фейнмана, линии и вершины которых преобразуются по фиксированным правилам в математические вклады в амплитуду рассеяния.

Clinical relevance

Интегралы по траекториям и теория возмущений представляют собой стандартный аппарат для предсказания наблюдаемых величин на коллайдерах, лежат в основе решеточной калибровочной теории и моделирования сильного взаимодействия методом Монте-Карло, а также предоставляют методы, применимые в статистической механике и физике конденсированного состояния.

History

Основываясь на предложении Дирака, Фейнман сформулировал подход к квантовой механике с помощью интегралов по траекториям в 1948 году и разработал диаграммные правила, носящие его имя, для квантовой электродинамики. Дайсон показал эквивалентность диаграмм Фейнмана с операторными методами Швингера и Томонаги, и интеграл по траекториям впоследствии стал предпочтительной основой для квантования калибровочных теорий и формулировки решеточной теории поля.

Key figures

• Richard Feynman
• Paul Dirac
• Freeman Dyson

Seminal works

• feynman1948
• feynmanhibbs1965

Frequently asked questions

Что означает суммирование по всем траекториям?

В интеграле по траекториям каждая мыслимая история, соединяющая начальное и конечное состояния, вносит комплексную фазу в амплитуду. Траектории интерферируют, и доминирующий вклад вблизи классической траектории проявляется, когда действие велико.

Являются ли диаграммы Фейнмана буквальными изображениями траекторий частиц?

Нет. Диаграммы Фейнмана — это вспомогательные средства для учета членов в пертурбативном разложении. Их линии представляют пропагаторы, а их вершины — взаимодействия, а не фактические траектории частиц в пространстве.