Параметрические кривые и поверхности

Параметрические кривые и поверхности представляют гладкие свободноформенные объекты как функции одного или двух параметров, предоставляя дизайнерам компактные, управляемые описания геометрии.

Definition

Параметрическая кривая или поверхность отображает интервал или прямоугольник значений параметров в точки в пространстве, обычно как взвешенную комбинацию контрольных точек с использованием полиномиальных или рациональных базисных функций.

Scope

Эта тема охватывает кривые Безье и алгоритм де Кастельжо, B-сплайновые и NURBS-представления с их векторами узлов и локальным управлением, условия непрерывности между сегментами и конструкцию тензорного произведения, которая расширяет эти кривые до поверхностей.

Core questions

• Как можно задать и редактировать гладкую кривую с помощью нескольких контрольных точек?
• Какая непрерывность сохраняется в местах соединения частей кривой или поверхности?
• Почему необходимы рациональные формы, такие как NURBS?
• Как конструкции кривых обобщаются на поверхности?

Key concepts

• Кривые Безье
• Алгоритм де Кастельжо
• B-сплайны и векторы узлов
• NURBS
• Геометрическая и параметрическая непрерывность
• Поверхности тензорного произведения

Key theories

Кривые Безье и вычисление по алгоритму де Кастельжо

Кривая Безье представляет собой смешение контрольных точек по полиномам Бернштейна, стабильно вычисляемое путем многократной линейной интерполяции, при этом кривая лежит внутри выпуклой оболочки своего контрольного многоугольника и касательна к нему.

B-сплайны и NURBS

B-сплайны обеспечивают локальное управление и регулируемую гладкость посредством вектора узлов, а их рациональное обобщение, NURBS, может точно представлять конические сечения, что делает их стандартом в системах автоматизированного проектирования.

Clinical relevance

Параметрические кривые и поверхности являются геометрической основой систем автоматизированного проектирования, контуров шрифтов и векторной графики, путей анимации и промышленного проектирования поверхностей в автомобилестроении и аэрокосмической технике.

History

Разработанные независимо Безье в Renault и де Кастельжо в Citroen в начале 1960-х годов, эти методы были объединены и расширены теорией B-сплайнов де Бура и стандартизированы как NURBS в системах CAD.

Key figures

• Pierre Bezier
• Paul de Casteljau
• Carl de Boor

Seminal works

• farin2002
• piegl1997

Frequently asked questions

Почему кривые Безье так широко используются?

Они определяются небольшим набором контрольных точек, которые интуитивно формируют кривую, легко и численно стабильно вычисляются и остаются внутри выпуклой оболочки своих контрольных точек, что делает их предсказуемыми для редактирования.

Что добавляет буква N в NURBS по сравнению с обычными B-сплайнами?

Неоднородные рациональные B-сплайны (Non-uniform rational B-splines) используют веса и рациональные базисные функции, что позволяет им точно представлять окружности, эллипсы и другие конические сечения, чего не могут делать полиномиальные B-сплайны.