Интегрирование методом Монте-Карло

Интегрирование методом Монте-Карло оценивает определённый интеграл как среднее значение подынтегральной функции по случайным точкам выборки, переформулируя интегрирование как оценку математического ожидания.

Definition

Интегрирование методом Монте-Карло — это аппроксимация интеграла путём его записи как математического ожидания функции при определённом распределении выборки и оценки этого ожидания с помощью выборочного среднего по выборкам из распределения.

Scope

Эта тема охватывает представление интеграла как математического ожидания, простой (грубый) оценщик Монте-Карло и его несмещённость, скорость сходимости порядка корень из n и её независимость от размерности, оценку ошибки через выборочное стандартное отклонение, а также сравнение с детерминированной квадратурой. Усовершенствования, направленные на снижение дисперсии, рассматриваются как расширения в других разделах.

Core questions

• Как произвольный интеграл выражается как математическое ожидание, подходящее для выборки?
• Почему грубый оценщик Монте-Карло является несмещённым и состоятельным?
• Что определяет скорость ошибки порядка корень из n, и почему она не зависит от размерности?
• Когда интегрирование методом Монте-Карло превосходит детерминированную квадратуру?

Key concepts

• Грубый оценщик Монте-Карло
• Несмещённость
• Стандартная ошибка
• Независимость от размерности
• Плотность выборки

Key theories

Интеграл как математическое ожидание

Запись интеграла как математического ожидания подынтегральной функции, делённой на плотность выборки, превращает интегрирование в оценку среднего значения, которое выборочное среднее оценивает без смещения.

Скорость сходимости и оценка ошибки

Центральная предельная теорема даёт стандартную ошибку, пропорциональную единице, делённой на квадратный корень из размера выборки, независимо от размерности интеграла, а эмпирическое стандартное отклонение слагаемых обеспечивает пригодную оценку ошибки.

Clinical relevance

Интегрирование методом Монте-Карло позволяет вычислять нормировочные константы, апостериорные ожидания, маргинальные правдоподобия и многомерные ожидания, которые возникают в статистике и естественных науках; его независимая от размерности скорость ошибки делает его предпочтительным методом там, где сеточная квадратура становится нецелесообразной.

History

Идея оценки интегралов путём выборки восходит к вычислениям в Лос-Аламосе в 1940-х годах и статье Метрополиса и Улама 1949 года; она стала рутинной практикой по мере роста вычислительной мощности и по мере того, как статистики осознали её преимущество перед квадратурой в высоких размерностях.

Key figures

• Stanislaw Ulam
• Nicholas Metropolis
• Christian P. Robert

Seminal works

• robert2004
• metropolis1949

Frequently asked questions

Насколько точным является интегрирование методом Монте-Карло?

Его ошибка уменьшается как единица, делённая на квадратный корень из числа выборок, поэтому увеличение размера выборки в четыре раза уменьшает ошибку вдвое. Оценщик также имеет встроенную оценку ошибки, основанную на выборочном стандартном отклонении значений подынтегральной функции.

Когда следует предпочесть метод Монте-Карло стандартной квадратуре?

Для гладких интегралов низкой размерности детерминированная квадратура обычно сходится быстрее. Метод Монте-Карло выигрывает в высоких размерностях, где стоимость сетки растёт экспоненциально, но скорость ошибки Монте-Карло остаётся прежней.