Метод Монте-Карло Метрополиса в физике

Алгоритм Метрополиса является основным инструментом моделирования в статистической физике: принимая или отклоняя предлагаемые перемещения на основе их энергетической стоимости, он строит цепь Маркова, которая сэмплирует конфигурации с их правильной больцмановской вероятностью.

Definition

Алгоритм Метрополиса — это метод Монте-Карло цепей Маркова, который генерирует последовательность конфигураций, предельное распределение которых представляет собой канонический ансамбль, предлагая локальные изменения и принимая их с вероятностью, определяемой больцмановским фактором изменения энергии.

Scope

Эта тема охватывает алгоритмы Метрополиса и Метрополиса-Хастингса в применении к физическим системам: правило принятия, детальный баланс и эргодичность, установление равновесия и автокорреляцию, а также оценку термических средних и их статистических ошибок. Это основополагающий метод сэмплирования, лежащий в основе более широкой области Монте-Карло.

Core questions

• Как вероятность принятия зависит от изменения энергии предлагаемого перемещения?
• Почему детальный баланс гарантирует правильное стационарное распределение?
• Как диагностируются и учитываются времена установления равновесия и автокорреляции?
• Как оценивается статистическая ошибка среднего Монте-Карло по коррелированным выборкам?

Key theories

Детальный баланс и стационарность

Выбор вероятностей принятия, удовлетворяющих детальному балансу относительно распределения Больцмана, гарантирует, что это распределение является стационарным в рамках цепи Маркова, так что долгосрочные средние значения сходятся к термическим ожидаемым значениям.

Обобщение Метрополиса-Хастингса

Хастингс обобщил правило принятия для асимметричных распределений предложений, расширив применение алгоритма за пределы симметричных локальных перемещений при сохранении целевого стационарного распределения.

Автокорреляция и оценка ошибок

Последовательные выборки Метрополиса коррелированы, поэтому эффективное число независимых выборок уменьшается на время автокорреляции, которое необходимо измерить для присвоения достоверных доверительных интервалов термическим средним.

Clinical relevance

Сэмплирование по Метрополису позволяет вычислять термодинамические величины для решеточных спиновых моделей, жидкостей и полимеров, определять фазовые переходы и служит основным механизмом в молекулярном моделировании методом Монте-Карло и многих схемах квантового Монте-Карло.

History

Введенный в 1953 году для вычисления уравнения состояния двумерной жидкости из жестких дисков на компьютере MANIAC в Лос-Аламосе, алгоритм был обобщен Хастингсом в 1970 году и стал наиболее широко используемым методом моделирования в статистической физике, а позднее и в байесовской статистике.

Key figures

• Nicholas Metropolis
• Arianna Rosenbluth
• W. Keith Hastings

Seminal works

• metropolis1953
• hastings1970

Frequently asked questions

Почему перемещения, снижающие энергию, всегда принимаются?

Перемещение, снижающее энергию, увеличивает больцмановский вес, поэтому его принятие всегда перемещает цепь к более вероятным состояниям; перемещения «в гору» принимаются лишь иногда, с вероятностью, определяемой увеличением энергии, что позволяет цепи исследовать полное термическое распределение, а не только двигаться «под гору».

Почему выборки должны отбрасываться в начале прогона?

Цепь начинается с произвольной конфигурации, которая еще не является репрезентативной для равновесного распределения. Начальный период установления равновесия или «разогрева» отбрасывается, чтобы измеренные средние значения отражали истинный термический ансамбль, а не начальное смещение.