Модальные системы и их аксиомы

Различные модальные аксиомы кодируют различные концепции необходимости, и каждая соответствует структурному условию на отношение достижимости.

Definition

Нормальная модальная система — это набор теорем, замкнутый относительно правил классической логики, а также аксиомы дистрибутивности K и правила нецесситации (necessitation), при этом более сильные системы получаются путем добавления характеристических аксиом, которые соответствуют свойствам отношения достижимости.

Scope

Эта тема охватывает стандартную иерархию нормальных модальных систем, построенных на базовой системе K путем добавления таких аксиом, как T (рефлексивность), 4 (транзитивность), B (симметричность) и 5 (евклидовость), что приводит к системам типа T, S4 и S5. Она рассматривает теорию соответствия — систематическое сопоставление модальных аксиом и условий фрейма — наряду с корректностью, полнотой и вопросом о том, какая система лучше всего отражает метафизическую, логическую или эпистемическую необходимость.

Core questions

• Какие аксиомы должны управлять данным видом необходимости?
• Как модальные аксиомы соответствуют условиям на отношение достижимости?
• Является ли S5 правильной логикой метафизической необходимости, или более слабая система более уместна?
• Что устанавливают результаты корректности и полноты для этих систем?

Key concepts

• система K и нецесситация
• аксиомы T, 4, B, 5
• рефлексивные, транзитивные, симметричные, евклидовы фреймы
• теория соответствия
• S4 и S5
• полнота через канонические модели

Key theories

Теория соответствия

Каждая характеристическая модальная аксиома соответствует свойству отношения достижимости — T рефлексивности, 4 транзитивности, B симметричности, 5 евклидовости — так что система является корректной и полной относительно класса фреймов, удовлетворяющих этим условиям.

Строгая импликация и системы Льюиса

К. И. Льюис ввел системы S1-S5 для формализации строгой импликации и избежания парадоксов материальной импликации, заложив основу современного аксиоматического изучения модальности.

History

В работе Льюиса и Лэнгфорда «Символическая логика» 1932 года системы S1-S5 были представлены аксиоматически. После появления реляционной семантики Крипке теория соответствия выявила систематическую связь между аксиомами и условиями фрейма, а полнота была установлена посредством конструкций канонических моделей, кодифицированных в учебниках, таких как Хьюз и Кресвелл.

Debates

Какая система отражает метафизическую необходимость?

Вопрос о том, является ли логика метафизической необходимости сильной системой S5, в которой то, что возможно, является неконтингентно возможным, или более слабой системой, которая позволяет самому пространству возможностей варьироваться между мирами.

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

В чем разница между S4 и S5?

S4 добавляет аксиому, что то, что необходимо, является необходимо необходимым (транзитивное отношение достижимости). S5 дополнительно добавляет, что то, что возможно, является необходимо возможным (отношение достижимости становится отношением эквивалентности). В S5 модальный статус любого предложения сам по себе неконтингентен, что многие считают подходящим для метафизической необходимости.