Observáveis e Medição Quântica

Na mecânica quântica, cada quantidade mensurável é representada por um operador Hermitiano cujos autovalores são os resultados possíveis; uma medição retorna um autovalor aleatoriamente, ponderado pela regra de Born, e deixa o sistema no autoestado correspondente.

Definition

Um observável é um operador auto-adjunto no espaço de Hilbert do sistema cujos autovalores são os resultados possíveis da medição; a medição projeta o estado em um autoespaço, retornando o autovalor correspondente com probabilidade dada pela regra de Born.

Scope

O tópico abrange operadores Hermitianos e auto-adjuntos e seus espectros reais, a equação de autovalores e a decomposição espectral, valores esperados e sua dependência temporal, observáveis comutadores e conjuntos completos de observáveis compatíveis, o princípio da incerteza para operadores não comutadores e medições generalizadas descritas por medidas com valor de operador positivo.

Core questions

• Por que os observáveis devem ser representados por operadores Hermitianos?
• Como a média e a dispersão de medições repetidas são calculadas a partir do estado?
• Quando dois observáveis podem ser medidos simultaneamente com precisão arbitrária?
• O que o princípio da incerteza diz sobre observáveis incompatíveis?

Key concepts

• operador Hermitiano
• autovalor e autoestado
• valor esperado
• observáveis comutadores
• conjunto completo de observáveis compatíveis
• incerteza de Heisenberg

Key theories

Teorema espectral para observáveis

Um operador auto-adjunto possui autovalores reais e uma autobase ortonormal, de modo que qualquer observável pode ser decomposto em uma soma, ou integral, de seus autovalores vezes projetores nos autoespaços correspondentes, que é exatamente a estrutura que a medição explora.

Princípio da incerteza

Para dois observáveis, o produto dos desvios padrão de suas medições em qualquer estado é limitado inferiormente por metade da magnitude da expectativa de seu comutador, de modo que quantidades não comutadoras, como posição e momento, não podem ser ambas nitidamente definidas.

Clinical relevance

A imagem do operador da medição subjaz à espectroscopia, onde as energias medidas são autovalores do operador, e à metrologia e tomografia quânticas, onde os valores esperados e os conjuntos de observáveis compatíveis determinam quanta informação sobre um estado pode ser extraída; o princípio da incerteza estabelece limites fundamentais na precisão em sensoriamento e microscopia.

History

Heisenberg introduziu sua relação de incerteza em 1927, e no mesmo ano o formalismo do operador tomou forma; o tratado de von Neumann de 1932 deu à medição e aos operadores auto-adjuntos uma base rigorosa, e trabalhos posteriores generalizaram as medições projetivas para medidas com valor de operador positivo na informação quântica.

Debates

Interpretação do princípio da incerteza

Se o princípio da incerteza reflete uma perturbação inevitável pelo aparelho de medição ou uma propriedade intrínseca dos estados quânticos independente da medição tem sido debatido desde Heisenberg; as relações modernas de perturbação-medição distinguem as duas noções.

Key figures

• Werner Heisenberg
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Eugene Wigner

Seminal works

• vonneumann1955
• sakurai2017

Frequently asked questions

Por que os observáveis são obrigados a ser Hermitianos?

Operadores Hermitianos têm autovalores reais, correspondendo à exigência de que os resultados da medição sejam números reais, e eles possuem uma autobase ortonormal completa que permite que a regra de Born atribua um conjunto consistente de probabilidades de resultados.

Quaisquer dois observáveis podem ser medidos ao mesmo tempo?

Somente se seus operadores comutarem; observáveis comutadores compartilham uma autobase e podem ter valores definidos simultaneamente, enquanto observáveis não comutadores obedecem a uma relação de incerteza que proíbe valores nítidos simultâneos.