Equações Lineares e de Pell

As equações diofantinas lineares são completamente resolvidas pelo algoritmo euclidiano, enquanto a equação de Pell, que busca soluções inteiras de x ao quadrado menos d y ao quadrado igual a um, revela a estrutura profunda dos corpos quadráticos reais através de frações contínuas.

Definition

Uma equação diofantina linear busca soluções inteiras de uma equação linear com coeficientes inteiros; a equação de Pell é a equação diofantina quadrática x ao quadrado menos d y ao quadrado igual a um para um inteiro positivo d não quadrado, cujas soluções formam uma família infinita e finitamente gerada.

Scope

Este tópico abrange equações diofantinas lineares em duas ou mais variáveis e sua solução completa via máximos divisores comuns e identidade de Bezout, a equação de Pell e suas formas negativa e generalizada, a expansão em fração contínua de irracionais quadráticos, a solução fundamental e como todas as soluções são geradas a partir dela, e a conexão com as unidades e a unidade fundamental de um corpo quadrático real.

Core questions

• Quando uma equação diofantina linear tem soluções inteiras e como o conjunto completo de soluções é descrito?
• Por que a equação de Pell sempre tem soluções não triviais para d não quadrado?
• Como a expansão em fração contínua da raiz quadrada de d produz a solução fundamental?
• Como todas as soluções de Pell são geradas a partir da fundamental, e como isso se relaciona com as unidades de um corpo quadrático?

Key theories

Solubilidade de equações diofantinas lineares

A equação a x mais b y igual a c tem soluções inteiras exatamente quando o máximo divisor comum de a e b divide c, e a identidade de Bezout então fornece uma solução particular e a família completa de um parâmetro.

Existência e estrutura das soluções de Pell

Para d não quadrado, a equação de Pell tem infinitas soluções; existe uma solução fundamental, e todas as outras são obtidas tomando potências da unidade correspondente no corpo quadrático real.

Frações contínuas e irracionais quadráticos

A expansão em fração contínua da raiz quadrada de d é eventualmente periódica, e seus convergentes fornecem a solução fundamental de Pell, ligando a solubilidade diofantina à aproximação diofantina.

Clinical relevance

As equações do tipo Pell e as frações contínuas aparecem em algoritmos para calcular unidades fundamentais e reguladores de corpos quadráticos e na aproximação de razões irracionais, com uso prático no design de calendários, relações de engrenagens e redução de reticulados.

History

Matemáticos indianos, notavelmente Brahmagupta no século VII e Bhaskara II com o método chakravala, resolveram a equação de Pell séculos antes da Europa. Fermat a propôs como um desafio, e Lagrange apresentou a primeira prova europeia completa em 1768; o nome Pell é uma atribuição histórica errônea de Euler.

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

Por que é chamada de equação de Pell?

Por um erro histórico: Euler atribuiu a equação a John Pell, embora Pell tenha trabalhado pouco nela; os avanços iniciais substanciais foram feitos por matemáticos indianos e por Fermat e Lagrange.

Como encontrar uma solução de Pell?

Expanda a raiz quadrada de d como uma fração contínua; seus convergentes periódicos fornecem a solução fundamental, a partir da qual todas as outras soluções são geradas por composição repetida.