Aproximação Diofantina

A aproximação diofantina mede quão próximos números irracionais podem ser abordados por frações; a resposta depende delicadamente do número, separando racionais, irracionais algébricos e transcendentais.

Definition

A aproximação diofantina é o estudo de quão bem números reais podem ser aproximados por números racionais, quantificado por quão pequena a diferença entre um número e uma fração pode ser em relação ao tamanho do denominador da fração.

Scope

Este tópico abrange o teorema de aproximação de Dirichlet e o princípio da casa dos pombos, frações contínuas como melhores aproximações, a medida de irracionalidade de um número, o teorema de Liouville e a construção de números de Liouville (transcendentais), o teorema de Thue-Siegel-Roth sobre a aproximação de números algébricos, e aplicações para limitar soluções de equações diofantinas e para provas de transcendência.

Core questions

• Quão bem cada número irracional pode ser aproximado por racionais, conforme garantido pelo teorema de Dirichlet?
• Por que os convergentes de frações contínuas são as melhores aproximações racionais?
• Como o teorema de Liouville limita a aproximabilidade de números algébricos e, assim, exibe números transcendentais?
• Que limite mais rigoroso o teorema de Thue-Siegel-Roth impõe, e como ele limita as soluções de equações diofantinas?

Key theories

Teorema de aproximação de Dirichlet

Para qualquer número irracional, existem infinitas frações que o aproximam dentro de um sobre o quadrado do denominador, um limite provado pelo princípio da casa dos pombos e essencialmente alcançado por frações contínuas.

Teorema de Liouville e transcendência

Números algébricos não podem ser aproximados por racionais mais rapidamente do que uma potência dependente de seu grau; números aproximáveis mais rapidamente, como a constante de Liouville, devem ser transcendentais.

Teorema de Thue-Siegel-Roth

Um número algébrico irracional não pode ser aproximado a um expoente essencialmente maior que dois; este limite, que é o melhor possível, implica a finitude de soluções para amplas classes de equações diofantinas.

Clinical relevance

A qualidade da aproximação controla a estabilidade de algoritmos numéricos envolvendo razões irracionais e fundamenta a redução de reticulados (a base de ataques e construções em criptografia de reticulados) e o projeto de sequências de baixa discrepância usadas na integração quase-Monte Carlo.

History

As aproximações por frações contínuas foram estudadas por Euler e Lagrange. Liouville construiu os primeiros números transcendentais explícitos em 1844 usando seu limite de aproximação; Thue, Siegel e, finalmente, Roth em 1955, aprimoraram o limite para números algébricos, um resultado pelo qual Roth recebeu a Medalha Fields.

Key figures

• Peter Gustav Lejeune Dirichlet
• Joseph Liouville
• Axel Thue
• Klaus Roth

Frequently asked questions

O que é uma medida de irracionalidade?

Quantifica quão proximamente um número pode ser aproximado por racionais: uma medida maior significa que melhores aproximações são possíveis. Racionais têm medida um, irracionais algébricos exatamente dois (por Roth), e números de Liouville têm medida infinita.

Como a aproximação prova que um número é transcendental?

Se um número pode ser aproximado por racionais mais rapidamente do que o limite de Liouville permite para qualquer número algébrico, ele não pode ser algébrico, portanto, deve ser transcendental.