Amostragem por Transformada Inversa

A amostragem por transformada inversa gera uma amostra de uma distribuição alvo avaliando o inverso de sua função de distribuição acumulada em um número aleatório uniforme, transformando uma variável uniforme em uma amostra exata.

Definition

A amostragem por transformada inversa é a técnica de sortear U uniformemente em (0,1) e retornar o valor no qual a função de distribuição acumulada do alvo é igual a U, produzindo assim uma amostra exata dessa distribuição.

Scope

Este tópico aborda a transformada integral de probabilidade que justifica o método, sua aplicação a distribuições contínuas e discretas, o uso de inversão numérica quando a função de distribuição acumulada inversa não possui uma forma fechada, e os pontos fortes e limitações do método em relação à aceitação-rejeição e algoritmos especializados.

Core questions

• Por que a aplicação da função de distribuição acumulada inversa a uma variável uniforme produz a distribuição alvo?
• Como o método é adaptado a distribuições discretas através da inversa generalizada?
• Quais técnicas numéricas invertem uma função de distribuição acumulada que não possui forma fechada?
• Quando a inversão é preferível à aceitação-rejeição ou a algoritmos específicos de distribuição?

Key concepts

• Função de distribuição acumulada
• Função quantílica
• Transformada integral de probabilidade
• Inversão numérica
• Monotonicidade

Key theories

Transformada integral de probabilidade

Se X tem função de distribuição acumulada contínua F, então F(X) é uniforme em (0,1); inversamente, o inverso de F aplicado a uma variável uniforme tem distribuição F, que é a base exata da inversão.

Inversa generalizada para distribuições discretas e mistas

Quando F não é estritamente crescente, a função quantílica definida como o ínfimo dos valores cuja probabilidade acumulada atinge U estende a inversão a distribuições discretas e mistas, reduzindo a amostragem a uma busca através das probabilidades acumuladas.

Clinical relevance

A inversão é a principal ferramenta para gerar variáveis exponenciais, de Cauchy, logísticas e muitas outras, para simular a partir de distribuições empíricas e ajustadas, e para acoplar simulações a números aleatórios comuns; como uma única entrada uniforme mapeia para uma única saída, ela também permite esquemas de redução de variância construídos sobre aleatoriedade compartilhada.

History

A transformada integral de probabilidade foi estabelecida na estatística matemática do início do século XX e tornou-se uma ferramenta de simulação padrão assim que os computadores digitais tornaram a avaliação de funções quantílicas rotineira, com ênfase posterior na inversão numérica precisa para distribuições que carecem de quantis em forma fechada.

Key figures

• Luc Devroye
• Christian P. Robert
• George Casella

Seminal works

• devroye1986
• robert2004

Frequently asked questions

Quando a amostragem por transformada inversa não pode ser usada diretamente?

Ela requer a avaliação da função de distribuição acumulada inversa. Para distribuições como a normal, cujo inverso não possui uma forma fechada elementar, utilizam-se aproximações numéricas precisas ou muda-se para outro método, como a aceitação-rejeição.

A inversão funciona para distribuições discretas?

Sim. Usando a inversa generalizada, retorna-se o menor valor cuja probabilidade acumulada é pelo menos o sorteio uniforme, o que equivale a pesquisar a tabela de probabilidades acumuladas para o alvo.