Teoria de Hamilton-Jacobi

A teoria de Hamilton-Jacobi busca uma transformação canônica para variáveis nas quais o movimento é trivial, reduzindo a mecânica à resolução de uma única equação diferencial parcial de primeira ordem para a ação.

Definition

A teoria de Hamilton-Jacobi é a formulação da mecânica na qual se resolve uma equação diferencial parcial de primeira ordem, a equação de Hamilton-Jacobi, para uma função geradora que se transforma em coordenadas onde todos os momentos são constantes e o movimento é imediato.

Scope

Este tópico abrange a equação de Hamilton-Jacobi para as funções principal e característica de Hamilton, o método de separação de variáveis para resolvê-la, a construção de variáveis de ação-ângulo para sistemas periódicos e multiperiódicos, e o papel da teoria como o limite clássico e ancestral conceitual da mecânica ondulatória.

Core questions

• Qual é a equação de Hamilton-Jacobi e qual função ela determina?
• Como a separação de variáveis torna a equação solúvel para sistemas integráveis?
• O que são variáveis de ação-ângulo e por que são valiosas?

Key concepts

• Função principal de Hamilton
• Função característica de Hamilton
• Separação de variáveis
• Variáveis de ação-ângulo
• Integral completa

Key theories

Equação de Hamilton-Jacobi

Uma equação diferencial parcial não linear de primeira ordem para a função principal de Hamilton, cuja solução completa gera uma transformação canônica que reduz o sistema a novas coordenadas e momentos constantes.

Variáveis de ação-ângulo

Para sistemas periódicos, a teoria produz variáveis de ação que são constantes de movimento e variáveis de ângulo conjugadas que avançam uniformemente no tempo, ideais para a teoria de perturbação e quantização.

Clinical relevance

A teoria de Hamilton-Jacobi forneceu a estrutura para a quantização de Bohr-Sommerfeld da antiga teoria quântica, antecipa o limite eikonal e de óptica geométrica das equações de onda, e fundamenta a teoria de controle ótimo através da equação de Hamilton-Jacobi-Bellman relacionada, usada em engenharia e economia.

History

Hamilton desenvolveu a função principal em óptica e mecânica no início da década de 1830, e Jacobi reformulou e completou a teoria, dando à equação sua forma moderna e mostrando seu poder para integrar problemas dinâmicos. No início do século XX, a formulação de ação-ângulo tornou-se a base das regras de quantização de Sommerfeld, ligando a mecânica clássica à emergente teoria quântica.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Arnold Sommerfeld

Seminal works

• goldstein2002
• landau1976

Frequently asked questions

Por que resolver uma equação diferencial parcial em vez das equações diferenciais ordinárias do movimento?

Uma solução completa da única equação de Hamilton-Jacobi produz uma transformação canônica que torna todo o movimento explícito de uma vez, o que para sistemas separáveis e integráveis é mais poderoso do que integrar diretamente as equações ordinárias acopladas.

Como a teoria se conecta à mecânica quântica?

A equação de Hamilton-Jacobi é o limite de comprimento de onda curto da equação de Schrödinger, e a função principal de Hamilton desempenha o papel da fase da função de onda quântica, tornando a teoria o esqueleto clássico da mecânica ondulatória.