Sistemas Modais e Seus Axiomas

Diferentes axiomas modais codificam diferentes concepções de necessidade, e cada um corresponde a uma condição estrutural na relação de acessibilidade.

Definition

Um sistema modal normal é um conjunto de teoremas fechado sob as regras da lógica clássica mais o axioma de distribuição K e a regra de necessitação, com sistemas mais fortes obtidos pela adição de axiomas característicos que correspondem a propriedades da relação de acessibilidade.

Scope

Este tópico abrange a hierarquia padrão de sistemas modais normais construídos sobre o sistema base K, adicionando axiomas como T (reflexividade), 4 (transitividade), B (simetria) e 5 (euclidianidade), resultando em sistemas como T, S4 e S5. Ele trata da teoria da correspondência — a correspondência sistemática entre axiomas modais e condições de frame — juntamente com a solidez (soundness), completude (completeness) e a questão de qual sistema melhor captura a necessidade metafísica, lógica ou epistêmica.

Core questions

• Quais axiomas devem governar um determinado tipo de necessidade?
• Como os axiomas modais correspondem às condições na relação de acessibilidade?
• S5 é a lógica correta da necessidade metafísica, ou um sistema mais fraco é mais apropriado?
• O que os resultados de solidez e completude estabelecem para esses sistemas?

Key concepts

• sistema K e necessitação
• axiomas T, 4, B, 5
• frames reflexivos, transitivos, simétricos, euclidianos
• teoria da correspondência
• S4 e S5
• completude via modelos canônicos

Key theories

Teoria da correspondência

Cada axioma modal característico corresponde a uma propriedade da relação de acessibilidade — T à reflexividade, 4 à transitividade, B à simetria, 5 à euclidianidade — de modo que um sistema é sólido e completo em relação à classe de frames que satisfazem essas condições.

Implicação estrita e os sistemas de Lewis

C. I. Lewis introduziu os sistemas S1-S5 para formalizar a implicação estrita e evitar os paradoxos da implicação material, fundando o estudo axiomático moderno da modalidade.

History

A Lógica Simbólica de Lewis e Langford, de 1932, introduziu os sistemas S1-S5 axiomaticamente. Após a semântica relacional de Kripke, a teoria da correspondência revelou a ligação sistemática entre axiomas e condições de frame, e a completude foi estabelecida por meio de construções de modelos canônicos, codificadas em livros didáticos como os de Hughes e Cresswell.

Debates

Qual sistema captura a necessidade metafísica?

Se a lógica da necessidade metafísica é o forte S5, no qual o que é possível é não-contingentemente possível, ou um sistema mais fraco que permite que o espaço de possibilidades varie entre os mundos.

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

Qual é a diferença entre S4 e S5?

S4 adiciona o axioma de que o que é necessário é necessariamente necessário (acessibilidade transitiva). S5 adiciona ainda que o que é possível é necessariamente possível (a relação de acessibilidade torna-se uma relação de equivalência). Em S5, o status modal de qualquer sentença é, por si só, não-contingente, o que muitos consideram adequado para a necessidade metafísica.