Os Teoremas de Gödel e Sua Filosofia

Ao codificar a autorreferência na aritmética, Gödel provou que qualquer sistema formal consistente, rico o suficiente para a aritmética, contém sentenças verdadeiras que não pode provar.

Definition

O primeiro teorema da incompletude de Gödel afirma que qualquer sistema formal consistente, efetivamente axiomatizado e capaz de expressar aritmética elementar, contém uma sentença verdadeira que não pode provar nem refutar; o segundo afirma que nenhum sistema desse tipo pode provar sua própria consistência.

Scope

Este tópico abrange os teoremas da incompletude de Gödel e sua interpretação filosófica. Ele trata da técnica de aritmetização (numeração de Gödel) e do lema diagonal que constrói uma sentença autorreferencial 'Eu não sou provável'; o primeiro teorema (tais sistemas são incompletos) e o segundo (eles não podem provar sua própria consistência); e os usos filosóficos controversos dos teoremas — alegações sobre os limites do formalismo e do programa de Hilbert, e argumentos de Lucas-Penrose de que a mente humana excede qualquer algoritmo.

Core questions

• Como a numeração de Gödel permite que a aritmética fale sobre suas próprias provas?
• O que exatamente os teoremas da incompletude estabelecem e para quais sistemas?
• O que os teoremas significaram para o programa de Hilbert e o logicismo?
• Os teoremas mostram que as mentes superam as máquinas?

Key concepts

• Numeração de Gödel (aritmetização)
• o lema diagonal
• a sentença de Gödel
• primeiro e segundo teoremas da incompletude
• programa de Hilbert
• consistência e omega-consistência

Key theories

Incompletude via diagonalização

Gödel aritmetiza a sintaxe para que uma fórmula possa expressar sua própria impossibilidade de prova; a sentença resultante é verdadeira (se o sistema for consistente) mas impossível de provar, estabelecendo a incompletude, e o segundo teorema mostra que a própria consistência é impossível de provar dentro do sistema.

O argumento de Lucas-Penrose

Lucas argumenta a partir do teorema de Gödel que, como um humano pode ver a verdade da sentença de Gödel de qualquer máquina consistente que modele a mente, a mente não pode ser tal máquina; o argumento é amplamente contestado.

History

Gödel provou os teoremas da incompletude em 1931, limitando decisivamente o programa de Hilbert de provar a matemática completa e consistente por meios finitários. Os resultados repercutiram na filosofia da matemática e da mente, com Lucas (1961) e, posteriormente, Penrose, tirando conclusões antimecanicistas que provocaram uma extensa literatura crítica.

Debates

Os teoremas refutam o mecanicismo sobre a mente?

Se o argumento de Lucas-Penrose infere validamente da incompletude que a intuição matemática humana transcende qualquer algoritmo, ou se ele exagera ao assumir que sempre podemos conhecer nossa própria consistência e reconhecer a sentença de Gödel relevante.

Key figures

• Kurt Godel
• David Hilbert
• J. R. Lucas
• Roger Penrose
• Peter Smith

Seminal works

• godel1931
• smith2013

Frequently asked questions

O teorema de Gödel significa que a matemática está quebrada?

Não. Significa que nenhum sistema formal consistente pode provar todas as verdades aritméticas, e nenhum pode certificar sua própria consistência de dentro. A matemática prossegue perfeitamente bem; os teoremas, em vez disso, impõem um limite de princípio ao que qualquer sistema axiomático fixo pode realizar, refutando a esperança de uma fundação completa e autocertificadora.