Teoremas da Incompletude de Goedel

Os teoremas da incompletude de Goedel estabelecem que qualquer teoria formal consistente capaz de expressar aritmética elementar é incompleta e não pode provar sua própria consistência, impondo limites fundamentais ao método axiomático.

Definition

O primeiro teorema da incompletude afirma que qualquer teoria consistente, efetivamente axiomatizada, que interpreta um fragmento modesto da aritmética, possui uma sentença que nem ela nem sua negação podem provar; o segundo afirma que tal teoria não pode provar uma declaração formal que afirme sua própria consistência.

Scope

Este tópico abrange a aritmetização da sintaxe e a numeração de Goedel, o lema diagonal e a construção de uma sentença autorreferencial, o primeiro teorema da incompletude sobre a existência de sentenças verdadeiras indemonstráveis, o segundo teorema da incompletude sobre a indemonstrabilidade da consistência, e as condições e consequências padrão, como o teorema de Tarski sobre a indefinibilidade da verdade.

Core questions

• Como a sintaxe de uma teoria é codificada dentro da própria aritmética?
• Como o lema diagonal produz uma sentença que afirma sua própria indemonstrabilidade?
• Por que uma teoria consistente suficientemente forte deve ser incompleta?
• Por que tal teoria não pode provar sua própria consistência?

Key theories

Lema diagonal

Para qualquer fórmula com uma variável livre, existe uma sentença que a teoria prova ser equivalente a essa fórmula aplicada ao próprio código da sentença, permitindo a autorreferência controlada.

Primeiro teorema da incompletude

A aplicação do lema diagonal ao predicado de demonstrabilidade produz uma sentença que é verdadeira exatamente quando indemonstrável, de modo que uma teoria aritmética consistente e efetivamente axiomatizada tem uma sentença que não pode provar nem refutar.

Segundo teorema da incompletude

A formalização da prova do primeiro teorema dentro da teoria mostra que a teoria prova sua própria consistência apenas se for inconsistente, de modo que uma teoria consistente não pode estabelecer sua própria consistência.

Clinical relevance

Os teoremas da incompletude remodelaram os fundamentos da matemática ao mostrar que nenhum sistema formal consistente pode resolver todas as questões aritméticas ou certificar sua própria confiabilidade, o que delimita o programa de Hilbert e motiva medidas de força teórica baseadas em ordinais e o estudo da consistência relativa.

History

Goedel anunciou os teoremas da incompletude em 1930 e os publicou em 1931, derrubando a expectativa de que a aritmética pudesse ser completa e auto-certificadamente axiomatizada. Rosser fortaleceu as hipóteses em 1936, e o teorema contemporâneo de Tarski sobre a indefinibilidade da verdade apresentou um resultado limitativo intimamente relacionado.

Key figures

• Kurt Goedel
• Alfred Tarski
• J. Barkley Rosser
• David Hilbert

Seminal works

• smith2013
• godel1931
• boolos2007

Frequently asked questions

Os teoremas da incompletude afirmam que a matemática é inconsistente?

Não. Eles afirmam que qualquer sistema formal consistente e suficientemente forte é incompleto e não pode certificar sua própria consistência. Eles não lançam dúvidas sobre a verdade da matemática, apenas sobre o alcance de qualquer sistema axiomático.

A incompletude significa que algumas verdades são incognoscíveis?

Não em um sentido absoluto. Uma sentença indemonstrável em uma teoria pode ser demonstrável em uma mais forte, por exemplo, adicionando uma declaração de consistência ou um axioma mais forte. A incompletude é uma limitação de cada sistema fixo, não uma barreira ao conhecimento matemático em geral.