Paradoxos da Teoria dos Conjuntos e Teoria dos Tipos

O conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si mesmos tanto se contém quanto não se contém — o paradoxo de Russell derrubou a teoria ingênua dos conjuntos e remodelou os fundamentos da lógica.

Definition

Os paradoxos da teoria dos conjuntos são contradições deriváveis na teoria ingênua dos conjuntos a partir do princípio de compreensão irrestrita de que toda condição define um conjunto; a teoria dos tipos os bloqueia ordenando as entidades em uma hierarquia de tipos e proibindo que um conjunto pertença a si mesmo.

Scope

Este tópico aborda os paradoxos lógicos e da teoria dos conjuntos e as respostas fundamentais que eles provocaram. Trata do paradoxo de Russell do conjunto de todos os conjuntos não-auto-membros, do paradoxo de Burali-Forti do maior ordinal e do paradoxo de Cantor do conjunto universal; o diagnóstico de Russell através do princípio do círculo vicioso e a teoria ramificada dos tipos resultante na Principia Mathematica; e a resposta alternativa da teoria axiomática dos conjuntos (Zermelo-Fraenkel) que restringe a compreensão para evitar os paradoxos.

Core questions

• Que suposição na teoria ingênua dos conjuntos gera o paradoxo de Russell?
• Evitar os paradoxos exige um princípio de círculo vicioso e restrições de tipo?
• Como a teoria dos tipos e a teoria axiomática dos conjuntos diferem como respostas?
• Os paradoxos lógicos são fundamentalmente os mesmos que os semânticos?

Key concepts

• compreensão irrestrita
• paradoxo de Russell
• paradoxos de Burali-Forti e Cantor
• princípio do círculo vicioso
• teoria dos tipos
• axioma da separação

Key theories

Teoria dos tipos ramificada

Russell bloqueia os paradoxos com o princípio do círculo vicioso e uma hierarquia de tipos na qual uma entidade só pode ser definida sobre entidades de nível inferior na hierarquia, prevenindo a auto-membresia e definições autoaplicáveis.

Compreensão restrita

A teoria axiomática dos conjuntos (Zermelo-Fraenkel) abandona a compreensão irrestrita em favor da separação e substituição, de modo que nenhum conjunto de todos os conjuntos não-auto-membros pode ser formado, dissolvendo o paradoxo de Russell sem uma hierarquia de tipos.

History

Russell descobriu seu paradoxo em 1901 enquanto estudava o logicismo de Frege, minando a Lei Básica V de Frege. A teoria dos tipos de Russell de 1908 e a Principia Mathematica de 1910 ofereceram uma cura; a axiomatização de Zermelo de 1908, posteriormente estendida por Fraenkel, ofereceu outra, e as duas abordagens ancoram os fundamentos modernos e a teoria dos tipos simples usada em lógica e ciência da computação.

Debates

Tipos vs. teoria axiomática dos conjuntos

Se os paradoxos são melhor evitados por uma hierarquia de tipos fundamentada no princípio do círculo vicioso ou pela restrição de axiomas de existência de conjuntos, e o que cada abordagem implica sobre a natureza dos conjuntos, classes e definições predicativas versus impredicativas.

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

O que é o paradoxo de Russell em termos simples?

Considere o conjunto R de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos. Pergunte se R é um membro de si mesmo. Se for, então, por sua própria definição, não deveria ser; se não for, então se qualifica e deveria ser. Ambas as respostas contradizem a outra, o que mostra que a suposição da teoria ingênua dos conjuntos de que qualquer propriedade define um conjunto deve estar errada.