선형 방정식과 펠 방정식

선형 디오판토스 방정식은 유클리드 알고리즘으로 완전히 풀리는 반면, x 제곱 마이너스 d y 제곱이 1이 되는 정수 해를 구하는 펠 방정식은 연분수를 통해 실수 이차장(real quadratic fields)의 심층적인 구조를 드러냅니다.

Definition

선형 디오판토스 방정식은 정수 계수를 갖는 선형 방정식의 정수 해를 찾는 것이며, 펠 방정식은 비제곱 양의 정수 d에 대해 x 제곱 마이너스 d y 제곱이 1이 되는 이차 디오판토스 방정식으로, 그 해는 무한하고 유한하게 생성되는(finitely generated) 가족을 이룹니다.

Scope

이 주제는 두 개 이상의 변수를 갖는 선형 디오판토스 방정식과 최대공약수 및 베주 항등식을 통한 완전한 해법, 펠 방정식과 그 음수 및 일반화된 형태, 이차 무리수(quadratic irrationals)의 연분수 전개, 기본 해(fundamental solution)와 모든 해가 그것으로부터 어떻게 생성되는지, 그리고 실수 이차장의 단원(units) 및 기본 단원(fundamental unit)과의 연관성을 다룹니다.

Core questions

• 선형 디오판토스 방정식은 언제 정수 해를 가지며, 완전한 해 집합은 어떻게 설명됩니까?
• 비제곱 d에 대해 펠 방정식은 왜 항상 자명하지 않은 해(nontrivial solutions)를 가집니까?
• d의 제곱근의 연분수 전개는 어떻게 기본 해를 생성합니까?
• 모든 펠 해는 기본 해로부터 어떻게 생성되며, 이것이 이차장의 단원과 어떻게 관련됩니까?

Key theories

선형 디오판토스 방정식의 가해성(Solvability)

방정식 a x 더하기 b y는 c는 a와 b의 최대공약수가 c를 나눌 때 정확히 정수 해를 가지며, 베주 항등식은 특정 해와 완전한 1-매개변수 가족을 제공합니다.

펠 해의 존재와 구조

비제곱 d에 대해 펠 방정식은 무한히 많은 해를 가집니다. 기본 해가 존재하며, 다른 모든 해는 실수 이차장에서 해당 단원의 거듭제곱을 취함으로써 얻어집니다.

연분수와 이차 무리수

d의 제곱근의 연분수 전개는 결국 주기적이며, 그 수렴분수(convergents)는 기본 펠 해를 제공하여 디오판토스 가해성을 디오판토스 근사(Diophantine approximation)와 연결합니다.

Clinical relevance

펠 유형 방정식과 연분수는 이차장의 기본 단원과 조절자(regulators)를 계산하는 알고리즘과 비합리적인 비율을 근사하는 데 나타나며, 달력 설계, 기어비, 격자 축소(lattice reduction) 등에서 실용적으로 사용됩니다.

History

인도 수학자들, 특히 7세기의 브라마굽타와 차크라발라(chakravala) 방법을 사용한 바스카라 2세는 유럽보다 수세기 전에 펠 방정식을 풀었습니다. 페르마는 이를 도전 과제로 제시했고, 라그랑주는 1768년에 유럽 최초의 완전한 증명을 제시했습니다. 펠이라는 이름은 오일러에 의한 역사적 오귀입니다.

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

왜 펠 방정식이라고 불립니까?

역사적 오류 때문입니다. 오일러는 이 방정식을 존 펠에게 귀속시켰지만, 펠은 이 방정식에 대해 거의 연구하지 않았습니다. 실질적인 초기 진전은 인도 수학자들과 페르마, 라그랑주에 의해 이루어졌습니다.

펠 해를 어떻게 찾습니까?

d의 제곱근을 연분수로 전개하십시오. 그 주기적인 수렴분수는 기본 해를 산출하며, 이로부터 모든 다른 해는 반복적인 합성(repeated composition)을 통해 생성됩니다.