環準同型

環準同型は、環間の構造を保持する写像であり、その核はイデアルであり、像は部分環である環論の射であり、同型定理によって支配される。

Definition

環準同型は、加法、乗法、および（慣例により）乗法単位元を保持する環間の関数であり、代数演算が尊重される。

Scope

このトピックでは、環準同型と環同型の定義、核と像、環に関する4つの同型定理、標数と素部分環、商環と評価写像の普遍的性質について扱う。

Core questions

• 写像が環構造を保持するとはどういう意味か？
• 準同型の核と像はイデアルと部分環にどのように関連するか？
• 同型定理は準同型を商を通じてどのように因数分解するか？
• 評価写像と剰余写像は環準同型としてどのように生じるか？

Key theories

環に関する第一同型定理

すべての環準同型は、その像への全射に続いて包含写像として因数分解され、その像は定義域をその核（これはイデアルである）で割った商と同型である。

対応定理と準同型定理

イデアルによる商は、それを含むイデアルと商のイデアルとの間に全単射を確立し、第二、第三、第四同型定理は、部分環、イデアル、および商が準同型の下でどのように相互作用するかを記述する。

商の普遍的性質

与えられたイデアルを含む核を持つ準同型は、そのイデアルによる商を通じて一意に因数分解されるため、商環はイデアルを消滅させる準同型像の中で普遍的である。

Clinical relevance

環準同型は、代数の基本的な演算を形式化する。整数または多項式による剰余、多項式の評価、および環をより大きな環に含めることはすべて準同型である。これらは環を圏にし、数論および代数幾何学において構造と計算が伝達される写像である。

History

準同型および同型定理は、1920年代のエミー・ネーターの構造代数プログラムの一環として、群論から環に抽象化され、以前は数論および方程式論で個別に扱われていた構成を統一した。

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

環準同型の核がイデアルでなければならないのはなぜか？

核は加法の下で閉じている。また、写像が積を積に送り、核の要素の像がゼロであるため、任意の環要素による乗法を吸収する。この吸収特性はまさにイデアルの定義である。

日常の代数における環準同型の例は何か？

nを法とする整数の剰余、固定された数での多項式の評価、および複素共役はすべて環準同型である。それぞれが和と積を保持し、同型定理はそれらの像を商環として記述する。