平方剰余の相互法則

ガウスが黄金定理と称した平方剰余の相互法則は、素数pがqを法とする平方であるか否かと、qがpを法とする平方であるか否かを関連付け、可解性に対する強力かつ予期せぬ対称的な判定基準を与える。

Definition

整数が素数pを法とする平方剰余であるとは、それがpを法とする完全平方と合同であることを指す。平方剰余の相互法則とは、異なる奇素数pとqに対し、xの2乗がqを法としてpと合同であることの可解性と、xの2乗がpを法としてqと合同であることの可解性を関連付ける定理である。

Scope

このトピックでは、素数を法とする平方剰余と非剰余、オイラーの規準、ルジャンドル記号とその乗法性、ヤコビ記号、2つの補充法則（マイナス1と2の場合）、そして主要な相互法則そのものについて扱う。これには、類体論の相互法則の最初の例としてのその役割も含まれる。

Core questions

• 与えられた奇素数pに対し、どの剰余が平方であり、オイラーの規準はこれをどのように判定するのか？
• ルジャンドル記号とヤコビ記号はどのように剰余情報を符号化し、乗法的に振る舞うのか？
• 相互法則は正確には何を主張しており、補充法則はマイナス1と2をどのように扱うのか？
• なぜ平方剰余の相互法則は、類体論の高次相互法則の原型と見なされるのか？

Key theories

オイラーの規準とルジャンドル記号

整数aが奇素数pを法とする平方剰余であるのは、aを(pマイナス1)/2乗したものが1と合同である場合のみである。ルジャンドル記号はこの符号を記録し、その上の引数に関して完全に乗法的である。

平方剰余の相互法則

異なる奇素数pとqに対し、2つのルジャンドル記号の積は、((pマイナス1)/2)((qマイナス1)/2)乗したマイナス1に等しい。したがって、相互法則が成立しないのは、両方の素数が4を法として3と合同である場合のみである。

補充法則とヤコビ記号

マイナス1と2が剰余である時期を決定する個別の規則があり、ヤコビ記号はルジャンドル記号を合成数を法とする場合に拡張し、因数分解なしに効率的な計算を可能にする。

Clinical relevance

相互法則とヤコビ記号は、平方剰余性を判定するための高速なアルゴリズムを提供し、素数判定法（ソロベイ-ストラッセン）、素数を法とする平方根の計算、および平方剰余仮定にセキュリティが依存する暗号スキームにおいて利用されている。

History

オイラーとルジャンドルによって予想されたこの法則は、1796年にガウスによって初めて完全に証明され、彼は繰り返しこの問題に取り組み、8つの異なる証明を与えた。現在では200以上の証明が知られている。その高次への一般化は、アイゼンシュタイン、クンマー、そして最終的には類体論の相互法則へと発展する動機となった。

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

ガウスはなぜ同じ定理を8回も証明したのか？

それぞれの証明は異なる構造（ガウス和、格子点計数、円分体論）を明らかにし、ガウスは高次相互法則に一般化できる証明を求めていた。これが後に代数的整数論の発展を促すことになった。

ルジャンドル記号とヤコビ記号の違いは何か？

ルジャンドル記号は奇素数を法として定義され、平方剰余を正確に検出する。ヤコビ記号は計算のためにそれを奇合成数を法とする場合に一般化するが、値が1であってもその数が剰余であることを保証するものではない。