フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理は、nが2より大きい任意の指数である場合、aのn乗とbのn乗の和がcのn乗に等しいという方程式を満たす3つの正の整数は存在しないと主張するものであり、楕円曲線のモジュラー性によって解決されるまで3世紀以上にわたり未証明のままであった。

Definition

フェルマーの最終定理とは、整数指数nが2より大きい場合、方程式xのn乗とyのn乗の和がzのn乗に等しいという式が、正の整数x, y, zにおいて解を持たないという主張である。

Scope

このトピックでは、フェルマーの最終定理の記述、素数指数およびフェルマー曲線への帰着、クンマーによるイデアル数と正則素数を用いた19世紀の進展、仮説上の解に関連するフライ曲線、モジュラー性への関連を示すリベットによって証明されたイプシロン予想、そして議論を締めくくるワイルズによる半安定楕円曲線のモジュラー性の証明について扱う。

Core questions

• なぜ素数指数と指数4の場合に定理を証明すれば十分なのか？
• クンマーのイデアル数と正則素数の理論をはじめとする古典的な手法は、この問題をどこまで進展させたのか？
• フライ曲線は、仮説上のフェルマー解を、ありえない性質を持つ楕円曲線にどのように変換するのか？
• リベットの定理とモジュラー性定理は、どのように組み合わさって証明を完成させるのか？

Key theories

クンマーの正則素数

クンマーは、イデアル数を用いてすべての正則素数指数についてフェルマーの最終定理を証明し、その過程で代数的整数論の類群の仕組みを導入した。

フライ曲線とリベットの定理

非自明なフェルマー解はフライ楕円曲線を生み出すが、リベットはそれがモジュラーではないことを証明した。したがって、そのような曲線のモジュラー性は、フェルマー方程式が解を持たないことを強制することになる。

モジュラー性定理（ワイルズ-テイラー）

ワイルズはテイラーと共に、半安定な有理楕円曲線がモジュラーであることを証明し、フライ曲線の存在と矛盾することで、フェルマーの最終定理を証明した。

Clinical relevance

この定理自体には直接的な応用はないものの、その証明に用いられた手法（ガロア表現、変形理論、モジュラー性リフティング）は、ラングランズ・プログラムや、楕円曲線暗号にも影響を与える算術幾何学的手法の核心技術となった。

History

フェルマーは1637年頃、ディオファントスの著書の余白にこの主張を記し、自身が書き残すことのなかった証明があると断言した。オイラー、ソフィー・ジェルマン、クンマーは次の2世紀にわたり多くのケースを解決した。フライ、セール、リベットは1980年代にこれをモジュラー性に帰着させ、ワイルズは1993年に証明を発表し、1994年にテイラーと共に完成させ、1995年に出版された。

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

フェルマーは実際に証明を持っていたのか？

ほぼ確実に正しい一般的な証明は持っていなかったであろう。必要な手法は20世紀になって初めて開発されたものであり、17世紀の議論は、関連する環では成り立たない一意分解などの仮定に依拠していたと考えられる。

べき乗に関する方程式は、楕円曲線とどのように関係するのか？

仮説上の解はフライ楕円曲線に組み込むことができ、その算術的性質はモジュラー性定理と矛盾するため、楕円曲線のモジュラー性によって元の方程式は解を持たないことが強制される。