位相空間と連続性

位相空間は、開集合の族を通じて、どの点が他のどの点の近くにあるかを符号化し、連続写像は、この近接性を尊重し、開集合を開集合に引き戻す写像である。

Definition

位相空間とは、集合Xと位相（任意の合併と有限個の共通部分に関して閉じ、空集合とXを含む開部分集合の族）からなる。位相空間間の関数は、すべての開集合の逆像が開集合である場合に連続であり、同相写像とは、連続な全単射で、その逆写像も連続であるものを指す。

Scope

このトピックでは、開集合の公理、および閉集合、近傍、閉包、内部の同等の表現を用いて位相空間を定義する。また、位相を特定する経済的な方法としての基底と準基底、部分空間位相、積位相、商位相、そして連続性、同相写像、位相不変量といった中心的な概念を展開する。さらに、距離の直観が通用しない場合の点列とネットの収束についても扱う。

Core questions

• 同じ位相が異なる基底から生じるのはどのようにしてか、また、位相を細かさによって比較するにはどうすればよいか？
• 距離が利用できない場合、連続性は何を意味するのか、また、閉包と近傍を通じてどのように特徴づけられるのか？
• 2つの空間が同相であるのはどのような場合か、また、それらを区別するための不変量としてどのような性質が役立つか？
• 部分空間、積、商の構成は、親位相の特性をどのように継承するのか、あるいは継承に失敗するのか？

Key concepts

• 開集合、閉集合、近傍、閉包、内部
• 位相を生成する基底と準基底
• 連続性、同相写像、位相不変量
• 部分空間位相、積位相、商位相
• 点列とネットによる収束；第一可算性の役割

Clinical relevance

これらの定義は、幾何学と位相幾何学におけるその後のあらゆる構造への入り口となる。多様体は局所ユークリッド位相空間であり、ホモトピーとホモロジーは連続写像に作用し、空間上の解析学はこの連続性の概念に基づいている。

History

開集合による定義は、フレシェの距離空間（1906年）とハウスドルフの近傍公理（1914年）を一般化したものであり、任意の合併と有限個の共通部分に関する現在の標準的な定式化は、ブルバキや20世紀半ばのアメリカの教科書を通じて標準的なものとなった。

Key figures

• Felix Hausdorff
• Maurice Fréchet
• James Munkres

Seminal works

• munkres2000
• kelley1955

Frequently asked questions

すべての連続な全単射は同相写像か？

いいえ。連続な全単射が連続な逆写像を持たない場合があります。同相写像は、逆写像も連続であることを追加で要求し、それが位相空間の同型写像たる所以です。

なぜネットは位相において点列を一般化するのか？

第一可算ではない空間では、点列はすべての閉包と連続性の挙動を検出できません。ネット（および同等にフィルター）は、任意の有向集合上の収束をインデックス付けし、完全な理論を回復します。