出生死滅過程

出生死滅過程は、整数上の連続時間マルコフ連鎖であり、現在の個体数に依存する出生率と死亡率によって、一度に1つずつ増加または減少します。

Definition

出生死滅過程は、非負の整数上の連続時間マルコフ連鎖であり、その唯一の遷移は、状態に依存する出生率で1つ上に、状態に依存する死亡率で1つ下に移動するため、その標本経路は単位ステップで変化します。

Scope

このトピックでは、最近傍遷移率の構造、純粋出生過程と純粋死滅過程の特殊なケース、過渡解と絶滅確率、詳細釣り合いから得られる定常分布、およびM/M/1およびM/M/cシステムを含む個体群と待ち行列への応用について説明します。

Core questions

• 状態に依存する出生率と死亡率は、どのようにダイナミクスを決定するのでしょうか？
• 出生死滅過程はいつ定常分布を持ち、どのような形をとるのでしょうか？
• 絶滅確率と爆発確率はどのように計算されるのでしょうか？
• 待ち行列システムはどのように出生死滅過程として発生するのでしょうか？

Key theories

詳細釣り合いと定常分布

遷移は隣接する状態へのみであるため、出生死滅過程は可逆であり、その定常分布は詳細釣り合い方程式から、連続する出生率と死亡率の比の積として明示的に得られます。

絶滅と吸収の分析

ゼロが吸収状態である場合、最初のステップと母関数による議論は、絶滅確率と吸収までの期待時間を与え、個体群が死滅するかどうか、そしてどれくらいの速さで死滅するかを特徴づけます。

Clinical relevance

出生死滅過程は、生物学的個体群、感染症の拡大と排除、待ち行列の顧客数、通信チャネルの占有率をモデル化します。一定の到着率とサービス率を持つ出生死滅過程であるM/M/1待ち行列は、このトピックと待ち行列理論を結びつける典型的な例です。

History

純粋出生過程は、1925年にYuleによって生物学的属の成長をモデル化するために導入され、Fellerは1930年代と1940年代に一般的な出生死滅過程を分析し、Erlangとその継承者による電話トラフィックに関する研究を通じて、このフレームワークは待ち行列理論の中心となりました。

Key figures

• William Feller
• George Udny Yule
• Alfred Lotka

Seminal works

• karlinTaylor1975

Frequently asked questions

何が過程を出生死滅過程にするのでしょうか？

それは、整数上の連続時間マルコフ連鎖であり、その遷移は出生率と死亡率に従って、数を1つ増減させながら、最近傍にのみ移動します。

出生死滅過程はなぜ常に可逆なのでしょうか？

状態空間が線形であり、遷移が隣接する状態間のみであるため、任意の2つの隣接する状態間の流れは平衡状態で釣り合い、詳細釣り合い方程式が成り立ち、定常分布を直接与えます。