Solusi Schrodinger Tak Bergantung Waktu

Menemukan tingkat energi dan fungsi gelombang stasioner partikel kuantum dalam suatu potensial merupakan tugas pertama mekanika kuantum komputasi, yang diselesaikan baik dengan menembak sepanjang fungsi gelombang atau dengan mendiagonalisasi Hamiltonian yang didiskretisasi.

Definition

Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu adalah persamaan nilai eigen yang solusinya adalah keadaan stasioner dan tingkat energi sistem kuantum; menyelesaikannya secara numerik berarti menemukan nilai eigen dan fungsi eigen tersebut untuk potensial tertentu.

Scope

Topik ini mencakup solusi numerik persamaan Schrodinger stasioner dalam satu dan beberapa dimensi: penembakan dan pencocokan dengan pencarian nilai eigen, metode integrasi Numerov, dan metode matriks yang mendiskretisasi Hamiltonian pada kisi atau dalam basis. Ini membahas keadaan terikat dan, secara singkat, keadaan hamburan.

Core questions

• Bagaimana metode penembakan menemukan nilai eigen energi dengan memberlakukan kondisi batas?
• Mengapa metode Numerov sangat cocok untuk mengintegrasikan persamaan Schrodinger?
• Bagaimana diskretisasi Hamiltonian mengubah masalah menjadi diagonalisasi matriks?
• Bagaimana keadaan terikat diskrit dibedakan dari kontinum?

Key theories

Penembakan dan pencocokan

Fungsi gelombang diintegrasikan dari batas ke dalam untuk energi percobaan, dan energi disesuaikan hingga solusi ke dalam dan ke luar cocok dengan mulus, yang memilih nilai eigen yang diizinkan.

Integrasi Numerov

Metode Numerov memanfaatkan struktur khusus persamaan Schrodinger, tanpa suku turunan pertama, untuk mencapai akurasi tingkat tinggi dengan biaya rendah saat mengintegrasikan fungsi gelombang.

Diagonalisasi matriks Hamiltonian

Merepresentasikan Hamiltonian pada kisi atau dalam basis terbatas menghasilkan matriks yang nilai eigennya adalah tingkat energi dan vektor eigennya adalah fungsi gelombang yang didiskretisasi, yang ditemukan oleh penyelesai eigen standar.

Clinical relevance

Penyelesaian persamaan Schrodinger stasioner memberikan tingkat energi atom dan molekul, spektrum sumur kuantum dan nanostruktur, serta orbital partikel tunggal yang menjadi masukan perhitungan struktur elektronik.

History

Integrasi numerik persamaan Schrodinger segera menyusul setelah perumusannya pada tahun 1926, dengan metode Numerov, yang awalnya dirancang untuk mekanika benda langit, menjadi metode utama; pertumbuhan komputer menjadikan diagonalisasi Hamiltonian penuh sebagai alternatif rutin.

Key figures

• Boris Numerov
• Erwin Schrodinger
• Jos Thijssen

Seminal works

• thijssen2007
• giordano2006

Frequently asked questions

Kapan metode penembakan harus digunakan alih-alih diagonalisasi matriks?

Metode penembakan bersifat alami dan akurat untuk masalah satu dimensi atau radial di mana satu nilai eigen dicari pada satu waktu. Diagonalisasi matriks lebih nyaman ketika banyak tingkat energi dibutuhkan sekaligus atau dalam dimensi yang lebih tinggi di mana metode penembakan menjadi canggung.

Mengapa metode Numerov lebih disukai untuk persamaan ini?

Persamaan Schrodinger tidak memiliki suku turunan pertama, yang secara khusus dirancang untuk dimanfaatkan oleh skema Numerov, memberikan akurasi orde keempat dengan sedikit pekerjaan tambahan dibandingkan dengan integrator dasar.