Kuadratur Newton-Cotes

Aturan Newton-Cotes mengaproksimasi integral dengan mengintegrasikan polinomial yang menginterpolasi integran pada titik-titik yang berjarak sama, menghasilkan rumus-rumus yang dikenal seperti aturan trapesium dan Simpson.

Definition

Aturan kuadratur Newton-Cotes adalah aturan kuadratur interpolatori yang titik-titiknya berjarak sama di seluruh interval integrasi, dengan bobot yang diperoleh dengan mengintegrasikan polinomial interpolasi yang sesuai.

Scope

Topik ini mencakup rumus Newton-Cotes tertutup dan terbuka, derajat ketepatan dan suku galatnya, aturan trapesium komposit dan Simpson yang diperoleh dengan membagi interval, integrasi Romberg melalui ekstrapolasi Richardson, dan ketidakstabilan aturan Newton-Cotes berorde tinggi yang membatasi derajat praktisnya.

Core questions

• Bagaimana aturan trapesium dan Simpson diturunkan sebagai interpolan terintegrasi?
• Apa saja suku galat dari aturan-aturan ini, dan mengapa aturan Simpson memperoleh orde tambahan dari simetri?
• Bagaimana aturan komposit dan ekstrapolasi Romberg meningkatkan akurasi secara sistematis?
• Mengapa aturan Newton-Cotes berorde tinggi menjadi tidak stabil, dan apa yang membatasi penggunaannya?

Key theories

Derajat ketepatan dan suku galat

Aturan trapesium tepat untuk integran linear dengan galat sebanding dengan turunan kedua, sedangkan aturan Simpson, berdasarkan simetri, tepat untuk kubik dengan galat sebanding dengan turunan keempat, memperoleh orde di luar derajat interpolasinya.

Aturan komposit dan integrasi Romberg

Menerapkan aturan dasar pada banyak subinterval menghasilkan aturan komposit yang galatnya berkurang secara polinomial dalam ukuran langkah; ekstrapolasi Richardson dari aturan trapesium komposit menghasilkan skema Romberg yang konvergen dengan cepat.

Mechanisms

Setiap aturan dasar mengintegrasikan interpolan yang berjarak sama secara tepat: aturan trapesium mengintegrasikan kecocokan garis lurus, aturan Simpson mengintegrasikan parabola. Aturan komposit mempartisi interval dan menjumlahkan aturan dasar pada setiap bagian, sehingga mengurangi ukuran langkah secara teratur akan mengurangi galat. Integrasi Romberg membuat tabel estimasi trapesium komposit pada ukuran langkah yang secara berturut-turut dibelah dua dan menerapkan ekstrapolasi Richardson berulang, membatalkan suku galat utama untuk mencapai akurasi orde tinggi untuk integran yang mulus. Aturan Newton-Cotes interval tunggal berorde tinggi memperoleh bobot osilasi besar dengan tanda campuran, mencerminkan fenomena Runge, yang menyebabkan pembatalan dan ketidakstabilan.

Clinical relevance

Aturan Newton-Cotes, terutama bentuk trapesium komposit dan Simpson, adalah alat kuadratur berbiaya rendah standar ketika sampel integran secara alami berjarak sama — misalnya data eksperimen yang ditabulasi, integrasi deret waktu, dan pasca-pemrosesan simulasi sederhana — dan integrasi Romberg memberikan hasil yang akurat untuk fungsi mulus dengan pengkodean minimal.

History

Aturan-aturan ini berasal dari Newton dan Cotes pada awal abad kedelapan belas dan dari Thomas Simpson, yang namanya diabadikan pada aturannya; skema ekstrapolasi Werner Romberg tahun 1955 mengubah aturan trapesium dasar menjadi metode akurasi tinggi dan tetap menjadi alat pengajaran dan komputasi standar.

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

Mengapa aturan Simpson lebih akurat daripada aturan trapesium?

Aturan Simpson menyesuaikan parabola melalui tiga titik daripada garis melalui dua titik, dan karena simetri, ia mengintegrasikan polinomial kubik secara tepat, sehingga galatnya bergantung pada turunan keempat dan menyusut jauh lebih cepat seiring berkurangnya ukuran langkah.

Mengapa tidak menggunakan aturan Newton-Cotes berorde sangat tinggi saja?

Aturan Newton-Cotes berorde tinggi pada titik-titik yang berjarak sama mengembangkan bobot besar dengan tanda bergantian, menyebabkan pembatalan numerik dan ketidakstabilan. Dalam praktiknya, orang menggunakan aturan orde rendah komposit, ekstrapolasi Romberg, atau kuadratur Gaussian sebagai gantinya.