Integrasi Numerik
Integrasi numerik, atau kuadratur, mengaproksimasi integral tentu dengan jumlah tertimbang dari nilai-nilai fungsi, memberikan nilai yang akurat ketika antiturunan tidak tersedia atau integran hanya diketahui pada titik-titik sampel.
Definition
Integrasi numerik adalah aproksimasi integral tentu dengan kombinasi tertimbang terbatas dari nilai-nilai integran, yang disebut kaidah kuadratur, beserta analisis akurasinya.
Scope
Area ini mencakup kaidah kuadratur interpolatori yang dibangun dengan mengintegrasikan interpolan polinomial (Newton-Cotes), kaidah Gaussian derajat optimal berdasarkan polinomial ortogonal, skema komposit dan adaptif yang mengontrol galat secara otomatis, dan analisis galat yang mengatur akurasi dan konvergensi; integrasi multidimensi diperlakukan sebagai perluasan dari fondasi satu dimensi ini.
Sub-topics
Core questions
- Bagaimana kaidah kuadratur dibangun dari interpolasi polinomial, dan apa yang menentukan akurasinya?
- Apa derajat keeksakan suatu kaidah, dan bagaimana kaidah Gaussian memaksimalkannya untuk sejumlah titik tertentu?
- Bagaimana strategi komposit dan adaptif mengontrol galat di seluruh interval?
- Bagaimana kehalusan integran mengatur laju konvergensi kaidah kuadratur?
Key theories
- Kuadratur interpolatori
- Mengintegrasikan polinomial yang menginterpolasi integran pada simpul-simpul yang dipilih menghasilkan kaidah kuadratur yang bobotnya adalah integral dari fungsi basis Lagrange; kaidah ini eksak untuk semua polinomial hingga derajat interpolasi.
- Kuadratur Gaussian dan polinomial ortogonal
- Memilih simpul-simpul sebagai akar-akar polinomial ortogonal menghasilkan kaidah n-titik yang eksak untuk polinomial hingga derajat 2n-1, yang merupakan maksimum yang mungkin, menghubungkan kuadratur optimal dengan teori polinomial ortogonal.
- Kontrol galat adaptif
- Membandingkan estimasi dari kaidah dengan orde berbeda atau dari subdivisi yang diperhalus menghasilkan estimasi galat yang mendorong subdivisi otomatis, memusatkan upaya di mana integran bervariasi dengan cepat.
Clinical relevance
Kuadratur diperlukan di mana pun integral tidak dapat dievaluasi dalam bentuk tertutup: menghitung ekspektasi dan konstanta normalisasi dalam probabilitas dan statistika, mengevaluasi integral elemen dalam metode elemen hingga, menjumlahkan kontribusi radiasi dan gaya dalam simulasi fisika, dan menentukan harga instrumen dalam keuangan komputasi; pilihan kaidah menyeimbangkan akurasi dengan jumlah evaluasi integran yang (seringkali mahal).
History
Kaidah interpolatori klasik berasal dari Newton dan Cotes, sementara Gauss memperkenalkan kuadratur derajat optimalnya pada tahun 1814; era komputer menambahkan algoritma adaptif otomatis dan pustaka perangkat lunak berkualitas tinggi, serta memperbarui perhatian pada pengkondisian dan stabilitas kuadratur untuk integran yang sulit.
Key figures
- Carl Friedrich Gauss
- Isaac Newton
- Roger Cotes
- Philip J. Davis
Related topics
Seminal works
- davis1984
- quarteroni2007
Frequently asked questions
- Kapan integrasi numerik diperlukan alih-alih mencari antiturunan?
- Banyak integran tidak memiliki antiturunan yang dapat diekspresikan dalam fungsi elementer, dan dalam praktiknya integran mungkin hanya tersedia sebagai data atau sebagai keluaran simulasi. Dalam kedua kasus tersebut, kaidah kuadratur mengestimasi integral langsung dari nilai-nilai fungsi.
- Mengapa kuadratur Gaussian begitu efisien?
- Dengan menempatkan simpul dan bobot secara optimal, kaidah Gaussian n-titik mengintegrasikan polinomial hingga derajat 2n-1 secara eksak — dua kali derajat kaidah Newton-Cotes dengan jumlah titik yang sama — sehingga mencapai akurasi tinggi dengan sedikit evaluasi fungsi untuk integran yang halus.