Kuadratur Gauss

Kuadratur Gauss memilih titik-titik (nodes) dan bobot (weights) dari suatu aturan kuadratur untuk memaksimalkan derajat polinomial keakuratannya, mengintegrasikan polinomial berderajat 2n-1 secara tepat hanya dengan n evaluasi fungsi.

Definition

Kuadratur Gauss adalah keluarga aturan kuadratur yang titik-titiknya merupakan akar-akar polinomial ortogonal yang terkait dengan fungsi bobot, dipilih bersama dengan bobotnya untuk mencapai derajat keakuratan maksimum yang mungkin untuk jumlah titik yang diberikan.

Scope

Topik ini mencakup konstruksi aturan Gauss dari akar-akar polinomial ortogonal, aturan Gauss-Legendre dan varian berbobot (Gauss-Chebyshev, Gauss-Hermite, Gauss-Laguerre), algoritma nilai eigen Golub-Welsch untuk menghitung titik-titik dan bobot, serta ekstensi Gauss-Kronrod yang digunakan untuk estimasi galat praktis.

Core questions

• Bagaimana penempatan titik-titik pada akar-akar polinomial ortogonal menggandakan derajat keakuratan dibandingkan dengan aturan titik tetap?
• Bagaimana titik-titik dan bobot dihitung secara akurat untuk fungsi bobot yang diberikan?
• Bagaimana aturan Gauss berbobot menangani integral dengan fungsi bobot singular atau domain tak terbatas?
• Bagaimana estimasi galat yang andal diperoleh, misalnya melalui pasangan Gauss-Kronrod?

Key theories

Derajat keakuratan maksimal

Aturan kuadratur n-titik dapat menjadi tepat untuk polinomial hingga derajat 2n-1, dan maksimum ini dicapai secara tepat ketika titik-titiknya adalah akar-akar polinomial ortogonal derajat-n untuk fungsi bobot, dengan semua bobot positif.

Algoritma Golub-Welsch

Titik-titik dan bobot dari aturan Gauss diperoleh sebagai nilai eigen dan kuadrat komponen vektor eigen pertama dari matriks Jacobi tridiagonal simetris yang dibentuk dari koefisien rekurensi polinomial ortogonal, mengubah konstruksi kuadratur menjadi komputasi nilai eigen.

Mechanisms

Polinomial ortogonal memenuhi rekurensi tiga suku yang koefisiennya mengisi matriks Jacobi tridiagonal simetris; algoritma Golub-Welsch menghitung nilai eigennya (titik-titik kuadratur) dan menggunakan komponen pertama dari vektor eigen untuk mendapatkan kembali bobotnya, semuanya secara stabil. Mengubah fungsi bobot — menjadi fungsi dengan singularitas bawaan atau didukung pada setengah garis atau seluruh garis — menghasilkan aturan Gauss-Chebyshev, Gauss-Laguerre, atau Gauss-Hermite yang menyerap perilaku sulit secara analitis. Aturan Gauss-Kronrod menggunakan kembali titik-titik Gauss dan menambahkan titik-titik yang saling terkait sehingga estimasi orde yang lebih tinggi, dan karenanya estimasi galat, diperoleh dengan biaya tambahan yang tidak terlalu besar.

Clinical relevance

Kuadratur Gauss merupakan alat utama untuk mengevaluasi integral elemen dan kekakuan dalam analisis elemen hingga, untuk menghitung momen dan ekspektasi terhadap fungsi bobot probabilitas dalam statistika dan kuantifikasi ketidakpastian, serta untuk evaluasi integral mulus dengan akurasi tinggi di seluruh bidang fisika dan teknik, di mana meminimalkan jumlah evaluasi integran yang mahal sangat penting.

History

Gauss menurunkan kuadratur optimalnya pada tahun 1814; Jacobi menghubungkannya dengan polinomial ortogonal, dan perlakuan komputasi modern ditetapkan oleh algoritma Golub-Welsch tahun 1969, yang membuat titik-titik dan bobot dapat dihitung secara rutin dan membawa aturan Gauss ke dalam pustaka numerik standar.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Gene H. Golub
• Walter Gautschi

Seminal works

• davis1984
• gautschi2004

Frequently asked questions

Bagaimana n titik dapat mengintegrasikan polinomial derajat 2n-1 secara tepat?

Karena baik n titik maupun n bobot adalah parameter bebas, terdapat 2n derajat kebebasan, cukup untuk mencocokkan integral dari 2n polinomial basis (derajat 0 hingga 2n-1). Penempatan titik-titik pada akar-akar polinomial ortogonal mencapai hal ini secara tepat.

Bagaimana akurasi aturan Gauss diperiksa dalam praktik?

Pendekatan umum adalah pasangan Gauss-Kronrod, yang menambah aturan Gauss dengan titik-titik tambahan untuk menghasilkan estimasi orde yang lebih tinggi; perbedaan antara kedua estimasi tersebut berfungsi sebagai estimasi galat praktis yang digunakan oleh integrator adaptif.