Distribusi Normal Multivariat

Distribusi normal multivariat menggeneralisasi kurva lonceng ke vektor acak, yang dicirikan sepenuhnya oleh vektor rata-rata dan matriks kovarians.

Definition

Distribusi normal multivariat adalah distribusi gabungan dari vektor acak yang setiap kombinasi linear komponennya adalah normal univariat, sepenuhnya ditentukan oleh vektor rata-rata dan matriks kovariansnya.

Scope

Topik ini mencakup fungsi kerapatan dan karakteristik dari normal multivariat, penutupannya di bawah transformasi linear, marginalisasi, dan pengkondisian, hubungan antara kovarians nol dan independensi untuk variabel normal, geometri kontur elipsnya dan jarak Mahalanobis, serta perannya sebagai model yang diasumsikan dalam inferensi multivariat klasik.

Core questions

• Apa yang mencirikan distribusi normal multivariat?
• Bagaimana perilaku distribusi marginal dan kondisional dari vektor normal?
• Mengapa sering muncul sebagai asumsi pemodelan?
• Bagaimana geometri elipsnya terkait dengan jarak Mahalanobis?

Key theories

Sifat penutupan

Transformasi linear, marginal, dan kondisional dari vektor normal multivariat adalah normal itu sendiri, dan rata-rata kondisional adalah linear dengan kovarians kondisional konstan, sifat-sifat yang membuat distribusi sangat mudah ditangani.

Geometri elips dan jarak Mahalanobis

Kontur kerapatan konstan adalah elipsoid yang kuadrat jari-jarinya adalah jarak Mahalanobis dari rata-rata, yang mengikuti distribusi chi-kuadrat dan mendasari banyak statistik uji multivariat.

Clinical relevance

Model normal multivariat membenarkan distribusi sampling yang digunakan dalam pengujian dan estimasi multivariat, dan berfungsi sebagai distribusi komponen dalam analisis diskriminan Gaussian dan pengelompokan campuran Gaussian.

History

Distribusi normal multivariat dikembangkan bersamaan dengan teori korelasi dan regresi pada awal abad kedua puluh dan menjadi dasar teori klasik analisis multivariat yang diformalkan dalam teks-teks pertengahan abad.

Debates

Validitas asumsi normalitas

Banyak prosedur klasik mengasumsikan normalitas multivariat, tetapi data multivariat riil sering menunjukkan ekor tebal atau kemiringan, mendorong alternatif distribusi robust dan elips serta uji normalitas multivariat.

Key figures

• T. W. Anderson
• Robb Muirhead

Seminal works

• anderson2003
• mardia1979
• muirhead1982

Frequently asked questions

Apakah korelasi nol menyiratkan independensi untuk variabel normal?

Untuk komponen dari satu vektor normal multivariat, komponen yang tidak berkorelasi memang independen; kesetaraan ini khusus untuk normal dan tidak berlaku untuk distribusi secara umum.

Apa itu jarak Mahalanobis?

Ini adalah jarak yang disesuaikan skala dan korelasi dari suatu titik ke rata-rata; untuk data normal multivariat, kuadratnya mengikuti distribusi chi-kuadrat dan digunakan untuk mendeteksi outlier dan dalam klasifikasi.