Transformasi Laplace

Transformasi Laplace mengubah fungsi waktu menjadi fungsi variabel kompleks, mengubah persamaan diferensial dengan kondisi awal menjadi persamaan aljabar.

Definition

Transformasi Laplace dari suatu fungsi adalah integral dari fungsi tersebut yang dikalikan dengan eksponensial yang meluruh sepanjang sumbu waktu positif, menghasilkan fungsi dari variabel frekuensi kompleks; diferensiasi dalam waktu menjadi perkalian dengan variabel tersebut, secara langsung menggabungkan kondisi awal.

Scope

Topik ini mencakup definisi dan daerah konvergensi, transformasi fungsi-fungsi dasar, aturan untuk turunan, integral, pergeseran, dan penskalaan, teorema konvolusi, penanganan masalah nilai awal, transformasi invers dengan pecahan parsial dan integral Bromwich, serta aplikasi pada sistem linear dan fungsi transfer.

Core questions

• Bagaimana transformasi ini menggabungkan kondisi awal ke dalam masalah aljabar?
• Apa itu daerah konvergensi dan mengapa itu penting?
• Bagaimana transformasi invers dihitung untuk mendapatkan kembali solusi domain waktu?
• Bagaimana fungsi transfer menggambarkan sistem linear dalam domain transformasi?

Key theories

Aturan diferensiasi dan masalah nilai awal

Transformasi dari turunan sama dengan variabel frekuensi dikalikan dengan transformasi dikurangi nilai awal, sehingga masalah nilai awal linear menjadi persamaan aljabar yang secara otomatis mengkodekan data awal.

Teorema konvolusi

Transformasi dari konvolusi adalah hasil kali dari transformasi, yang menyatakan respons sistem invarian waktu linear sebagai hasil kali dari fungsi transfernya dan input yang ditransformasi.

Inversi

Transformasi invers diperoleh kembali dengan dekomposisi pecahan parsial untuk transformasi rasional atau, secara umum, dengan integral kontur Bromwich, mengembalikan solusi ke domain waktu.

Clinical relevance

Transformasi Laplace merupakan metode standar untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear dengan kondisi awal dan merupakan inti dari teori kontrol dan teknik elektro, di mana fungsi transfer dan stabilitas dianalisis dalam domain transformasi.

History

Transformasi ini berasal dari karya Laplace tentang fungsi pembangkit dalam probabilitas pada akhir abad kedelapan belas. Kalkulus operasional Heaviside pada tahun 1890-an menerapkan ide-ide transformasi pada analisis sirkuit, dan Bromwich serta yang lainnya kemudian menyediakan teori inversi yang ketat yang membenarkan metode Heaviside.

Key figures

• Pierre-Simon Laplace
• Oliver Heaviside
• Thomas Bromwich
• Joseph-Louis Lagrange

Seminal works

• folland1992
• schiff1999

Frequently asked questions

Mengapa menggunakan transformasi Laplace daripada transformasi Fourier?

Transformasi Laplace mencakup faktor peluruhan riil, sehingga konvergen untuk sinyal yang tumbuh atau memiliki transien awal dan secara alami membangun kondisi awal. Hal ini menjadikannya alat yang lebih disukai untuk masalah nilai awal dan untuk analisis transien dalam rekayasa.

Apa itu fungsi transfer?

Ini adalah transformasi Laplace dari respons impuls sistem invarian waktu linear, atau secara ekuivalen rasio output yang ditransformasi terhadap input yang ditransformasi. Lokasi kutubnya menentukan stabilitas dan perilaku dinamis sistem.