रैंक-आधारित विधियाँ

रैंक-आधारित विधियाँ डेटा को उनके क्रम से प्रतिस्थापित करती हैं, ऐसे परीक्षण उत्पन्न करती हैं जिनका शून्य व्यवहार किसी भी सतत वितरण के लिए मान्य होता है और जो आउटलायर्स (outliers) के प्रति प्रतिरोधी होते हैं।

Definition

रैंक-आधारित विधियाँ सांख्यिकीय प्रक्रियाएँ हैं जो प्रेक्षणों के संख्यात्मक मानों के बजाय केवल उनके रैंक का उपयोग करती हैं, जिससे किसी भी सतत डेटा-उत्पन्न वितरण के लिए मान्य वितरण-मुक्त परीक्षण प्राप्त होते हैं।

Scope

इस विषय में साइन टेस्ट (sign test), युग्मित डेटा के लिए विल्कोक्सॉन साइंड-रैंक टेस्ट (Wilcoxon signed-rank test), दो नमूनों के लिए विल्कोक्सॉन रैंक-सम (Wilcoxon rank-sum) और समतुल्य मान-व्हिटनी टेस्ट (Mann-Whitney test), कई नमूनों के लिए क्रुस्कल-वालिस टेस्ट (Kruskal-Wallis test), स्पीयरमैन (Spearman) और केंडल रैंक सहसंबंध (Kendall rank correlations), रैखिक रैंक सांख्यिकी का सामान्य सिद्धांत और उनकी एसिम्प्टोटिक नॉर्मेलिटी (asymptotic normality), और उनके सामान्य-सिद्धांत समकक्षों की तुलना में रैंक टेस्ट की एसिम्प्टोटिक रिलेटिव एफिशिएंसी (asymptotic relative efficiency) शामिल है।

Core questions

• रैंक सांख्यिकी का शून्य वितरण अंतर्निहित सतत वितरण से मुक्त क्यों होता है?
• विल्कोक्सॉन और क्रुस्कल-वालिस टेस्ट सामान्यता के बिना स्थानों की तुलना कैसे करते हैं?
• एसिम्प्टोटिक रिलेटिव एफिशिएंसी क्या है, और रैंक टेस्ट t और F टेस्ट से कैसे तुलना करते हैं?
• मोनोटोन एसोसिएशन (monotone association) को मापने के लिए रैंक सहसंबंधों का उपयोग कैसे किया जाता है?

Key theories

वितरण-मुक्त रैंक टेस्ट

चूंकि रैंक मोनोटोन परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं, एक रैंक सांख्यिकी का शून्य वितरण केवल नमूना आकारों पर निर्भर करता है, जिससे स्थान और एसोसिएशन के सटीक वितरण-मुक्त परीक्षण मिलते हैं।

एसिम्प्टोटिक रिलेटिव एफिशिएंसी

रैंक टेस्ट सामान्यता के तहत बहुत कम दक्षता खोते हैं और भारी-पूंछ वाले डेटा के लिए कहीं अधिक कुशल हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, विल्कोक्सॉन टेस्ट, सामान्य मॉडल पर t टेस्ट के सापेक्ष लगभग 86 प्रतिशत दक्षता से कभी कम नहीं होता है।

Clinical relevance

नैदानिक, मनोवैज्ञानिक और पारिस्थितिक अनुसंधान में क्रमिक पैमानों, छोटे नमूनों और विषम या आउटलायर-प्रवण डेटा के लिए रैंक टेस्ट डिफ़ॉल्ट होते हैं, जहाँ सामान्यता की धारणा के बिना उनकी वैधता उन्हें t और F परीक्षणों की तुलना में अधिक सुरक्षित बनाती है।

History

विल्कोक्सॉन ने 1945 में साइंड-रैंक और रैंक-सम टेस्ट प्रस्तावित किए, मान और व्हिटनी ने 1947 में समतुल्य दो-नमूना परीक्षण दिया, और क्रुस्कल और वालिस ने 1952 में इसे कई समूहों तक विस्तारित किया, जिससे वितरण-मुक्त परीक्षण का मूल स्थापित हुआ।

Key figures

• Frank Wilcoxon
• Henry Mann
• Donald Whitney
• Maurice Kendall

Seminal works

• hollander2013

Frequently asked questions

t टेस्ट के बजाय रैंक टेस्ट का उपयोग कब करना चाहिए?

जब डेटा क्रमिक हो, नमूना छोटा हो, या वितरण विषम हो या उसमें आउटलायर्स हों, क्योंकि रैंक टेस्ट सामान्यता के बिना मान्य रहते हैं और अधिक मजबूत होते हैं, सामान्यता होने पर दक्षता में मामूली लागत पर।

क्या मान-व्हिटनी टेस्ट विल्कोक्सॉन रैंक-सम टेस्ट के समान है?

हाँ। वे बीजगणितीय रूप से समतुल्य दो-नमूना प्रक्रियाएँ हैं जो स्वतंत्र रूप से व्युत्पन्न हुई हैं; दोनों पूल्ड डेटा के रैंक का उपयोग करके दो वितरणों के स्थानों की तुलना करते हैं।