आइजिंग मॉडल और जालक प्रणालियाँ
जालक पर परस्पर क्रिया करने वाले स्पिन का आइजिंग मॉडल प्रावस्था संक्रमण का विहित सूक्ष्म मॉडल है, जो कम आयामों में सटीक रूप से हल करने योग्य है और सहकारी व्यवहार के लिए एक प्रतिमान है।
Definition
आइजिंग मॉडल एक जालक मॉडल है जिसमें प्रत्येक साइट एक स्पिन वहन करती है जो दो मानों में से एक लेती है जो अपने पड़ोसियों के साथ परस्पर क्रिया करती है, जो सबसे सरल सूक्ष्म मॉडल के रूप में कार्य करती है जो एक क्रमबद्ध अवस्था में थर्मोडायनामिक प्रावस्था संक्रमण प्रदर्शित करती है।
Scope
यह विषय आइजिंग मॉडल और जालक पर इसके सामान्यीकरण, माध्य-क्षेत्र सन्निकटन और इसकी भविष्यवाणियों, एक आयाम में संक्रमण की अनुपस्थिति, दो आयामों में ओन्सेगर का सटीक समाधान, स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधियों, और सहज चुंबकत्व और एक क्रांतिक बिंदु प्रदर्शित करने वाली सबसे सरल सूक्ष्म प्रणालियों के रूप में इन मॉडलों के उपयोग को शामिल करता है। पॉट्स और हाइजेनबर्ग मॉडल जैसे संबंधित मॉडलों को विस्तार के रूप में नोट किया गया है।
Core questions
- आइजिंग मॉडल में निकटतम-पड़ोसी युग्मन सहज चुंबकत्व कैसे उत्पन्न करता है?
- एक-आयामी आइजिंग मॉडल में कोई परिमित-तापमान संक्रमण क्यों नहीं होता है?
- ओन्सेगर का सटीक द्वि-आयामी समाधान क्रांतिक व्यवहार के बारे में क्या बताता है?
- माध्य-क्षेत्र सिद्धांत आइजिंग मॉडल का अनुमान कैसे लगाता है और यह कहाँ विफल होता है?
Key concepts
- स्पिन और निकटतम-पड़ोसी युग्मन
- सहज चुंबकत्व और क्रम
- माध्य-क्षेत्र सन्निकटन
- स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि
- ओन्सेगर का सटीक द्वि-आयामी समाधान
Key theories
- द्वि-आयामी आइजिंग मॉडल का ओन्सेगर का सटीक समाधान
- ओन्सेगर ने शून्य-क्षेत्र द्वि-आयामी आइजिंग मॉडल को सटीक रूप से हल किया, जिसमें एक वास्तविक प्रावस्था संक्रमण का प्रदर्शन किया गया जिसमें एक लघुगणकीय रूप से भिन्न विशिष्ट ऊष्मा थी और क्रांतिक घातांक प्रदान किए गए जो माध्य-क्षेत्र भविष्यवाणियों से भिन्न थे।
Clinical relevance
चुंबकत्व से परे, आइजिंग मॉडल जालक गैसों, बाइनरी मिश्र धातुओं, और तंत्रिका-नेटवर्क और अनुकूलन समस्याओं पर मैप करता है, जिससे यह सहकारी घटनाओं के लिए एक बहुमुखी परीक्षण स्थल और मोंटे कार्लो सिमुलेशन जैसी कम्प्यूटेशनल विधियों के लिए एक बेंचमार्क बन जाता है।
History
लेनज़ द्वारा प्रस्तावित और 1925 में आइजिंग द्वारा एक आयाम में हल किया गया, इस मॉडल को लंबे समय तक इतना सरल माना जाता था कि यह संक्रमण नहीं दिखा सकता था जब तक कि पीयरल्स ने अन्यथा तर्क नहीं दिया और ओन्सेगर के 1944 के सटीक द्वि-आयामी समाधान ने साबित कर दिया कि इसमें एक वास्तविक क्रांतिक बिंदु है।
Key figures
- Ernst Ising
- Wilhelm Lenz
- Lars Onsager
Related topics
Seminal works
- onsager1944
- stanley1971
Frequently asked questions
- आइजिंग मॉडल इतना महत्वपूर्ण क्यों है यदि यह इतना आदर्श है?
- इसकी सरलता इसे विश्लेषणात्मक और कम्प्यूटेशनल रूप से सुलभ बनाती है जबकि अभी भी सहकारी क्रम के सार को पकड़ती है, इसलिए यह सार्वभौमिकता, माध्य-क्षेत्र सिद्धांत और पुनर्सामान्यीकरण समूह जैसी अवधारणाओं के परीक्षण के लिए संदर्भ प्रणाली के रूप में कार्य करता है।