हिल्बर्ट स्पेस और क्वांटम अवस्थाएँ
एक क्वांटम अवस्था हिल्बर्ट स्पेस में एक सदिश है, जो एक पूर्ण सम्मिश्र सदिश स्पेस है जिसमें एक आंतरिक गुणनफल होता है, और यह ज्यामितीय विन्यास अध्यारोपण, लंबवतता और प्रायिकता संरचना प्रदान करता है जिस पर क्वांटम यांत्रिकी आधारित है।
Definition
एक हिल्बर्ट स्पेस सम्मिश्र संख्याओं पर एक पूर्ण आंतरिक-गुणनफल सदिश स्पेस है, और एक शुद्ध क्वांटम अवस्था इसमें एक इकाई सदिश है, जिसमें मिश्रित अवस्थाओं को घनत्व ऑपरेटरों द्वारा दर्शाया जाता है जो धनात्मक, हर्मिटियन और इकाई ट्रेस के होते हैं।
Scope
यह विषय हिल्बर्ट स्पेस और उसके आंतरिक गुणनफल की परिभाषा, सामान्यीकरण और समग्र चरण की भौतिक अप्रासंगिकता, ऑर्थोनॉर्मल आधार और पूर्णता, घनत्व ऑपरेटर द्वारा वर्णित शुद्ध अवस्थाओं और सांख्यिकीय मिश्रणों के बीच अंतर, और स्थिति और संवेग जैसे निरंतर स्पेक्ट्रा को समायोजित करने के लिए आवश्यक रिग्ड हिल्बर्ट स्पेस को शामिल करता है।
Core questions
- कौन से गुण हिल्बर्ट स्पेस को क्वांटम अवस्थाओं के लिए सही घर बनाते हैं?
- एक क्वांटम अवस्था को केवल सामान्यीकरण और समग्र चरण तक ही क्यों परिभाषित किया जाता है?
- घनत्व ऑपरेटर अवस्थाओं के सांख्यिकीय मिश्रण का वर्णन कैसे करता है?
- स्थिति आइगेनस्टेट्स जैसी निरंतर-स्पेक्ट्रम अवस्थाओं को गणितीय रूप से कैसे संभाला जाता है?
Key concepts
- आंतरिक गुणनफल
- ऑर्थोनॉर्मल आधार
- पूर्णता संबंध
- सामान्यीकरण और चरण
- घनत्व ऑपरेटर
- रिग्ड हिल्बर्ट स्पेस
Key theories
- किरणों के रूप में शुद्ध अवस्थाएँ
- एक शुद्ध अवस्था हिल्बर्ट स्पेस के एक आयामी उप-स्पेस, या किरण से मेल खाती है, इसलिए दो इकाई सदिश जो केवल एक चरण कारक से भिन्न होते हैं, एक ही भौतिक अवस्था का वर्णन करते हैं जबकि अध्यारोपण में उनका सापेक्ष चरण भौतिक रूप से सार्थक होता है।
- मिश्रित अवस्थाओं के लिए घनत्व ऑपरेटर
- एक सांख्यिकीय समूह या एक उलझे हुए जोड़े का एक उपतंत्र एक एकल सदिश द्वारा नहीं बल्कि एक घनत्व ऑपरेटर द्वारा वर्णित होता है, एक धनात्मक हर्मिटियन इकाई-ट्रेस ऑपरेटर जिसके विकर्ण तत्व जनसंख्या देते हैं और जिसके ऑफ-विकर्ण तत्व सुसंगतता को एन्कोड करते हैं।
Clinical relevance
हिल्बर्ट-स्पेस चित्र क्वांटम प्रौद्योगिकी की कार्यप्रणाली है: क्यूबिट्स द्वि-आयामी स्पेस में इकाई सदिश होते हैं, घनत्व ऑपरेटर क्वांटम सूचना में शोरगुल वाली और आंशिक रूप से ज्ञात अवस्थाओं का वर्णन करता है, और पूर्णता संबंध आयामों और प्रायिकताओं की प्रत्येक व्यावहारिक गणना का आधार हैं।
History
हिल्बर्ट और उनके छात्रों ने 1900 के आसपास अनंत-आयामी आंतरिक-गुणनफल स्पेस के सिद्धांत का विकास किया; वॉन न्यूमैन ने 1920 के दशक के अंत में पहचाना कि यह संरचना हाइजेनबर्ग के मैट्रिक्स यांत्रिकी और श्रोडिंगर के तरंग यांत्रिकी को एकीकृत करती है, और लैंडौ और वॉन न्यूमैन ने मिश्रित अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए घनत्व ऑपरेटर की शुरुआत की।
Key figures
- David Hilbert
- John von Neumann
- Paul Dirac
- Lev Landau
Related topics
Seminal works
- vonneumann1955
- shankar1994
Frequently asked questions
- शुद्ध अवस्था और मिश्रित अवस्था में क्या अंतर है?
- एक शुद्ध अवस्था एक एकल हिल्बर्ट-स्पेस सदिश है जो पूर्ण क्वांटम सुसंगतता वहन करती है, जबकि एक मिश्रित अवस्था शुद्ध अवस्थाओं का एक संभाव्य मिश्रण है जिसे घनत्व ऑपरेटर द्वारा वर्णित किया जाता है, जो या तो तैयार की गई अवस्था के बारे में शास्त्रीय अनिश्चितता या एक अनदेखे सिस्टम के साथ उलझाव को दर्शाता है।
- एक अवस्था का समग्र चरण क्यों मायने नहीं रखता?
- मापन की प्रायिकताएँ आयामों के वर्ग परिमाण पर निर्भर करती हैं, जो पूरे अवस्था को एक चरण कारक से गुणा करने पर अपरिवर्तित रहती हैं; केवल अध्यारोपण के घटकों के बीच सापेक्ष चरण ही हस्तक्षेप को प्रभावित करते हैं और इसलिए भौतिक होते हैं।